OP : PM : : OA : AG

Mais, si l'on prend un arc OX qui soit avec OA, dans le rapport.de wO avec OB, nous pourrons remplacer la proportion précédente par celle-ci

OP:PM ::OX:Oro, d'où XP : wM :: xo : «O,

résultat qui montre que le rapport de l'arc XP au rayon vecteur wM, demeure constant pour tous les points de la courbe GMO/w ; par conséquent cette courbe est une spirale d'Archimède , dont ïori^ine est sur le rayon wX qu'elle touche en se prolongeant suivant une autre branche «(p symétrique de la première. Pour avoir le pas de cette spirale, c'est-à-dire le rayon vecteur qui correspond à une révolution entière, il suffira de construire une quatrième proportionnelle ^ aux

3lO LIVRE VII. — DES SURFACES GAUCHES.

trois lignes suivantes : l'arc XO , la circonférence totale , et le rayon wO ; alors on pourra, selon l'usage ordinaire, compter sur la circonférence du rayon â, les arcs qui mesurent le mouvement angulaire du rayon vecteur mobile.

644. La courbe FO^wy est aussi une spirale d'Archimède dont Torigine est sur le rayon wÇ , et qui ne coïncidera avec la précédente qu'autant que l'arc OX se trouvera égal à un quart de cercle; pour obtenir cette coïncidence, il suffirait de prendre la demi-ouverture OA de la porte, telle qu'elle eût avec le quart de cercle, le même rapport que OB avec Ow. Enfin, les deux autres courbes G2O2/2 et FaOg^a appartiennent encore à deux nouvelles spirales d Archimède , qui touchent les mêmes rayons XwXa et ÇwÇa ) mais qui ont une situation opposée aux premières (*).

(*) L'analyse conduit aussi à ces résultats ; car, si l'on adopte pour axe des x la droite wOB, une perpendiculaire à celle-ci pour axe des/, et enfin la verticale w pour axe des z; puis , si l'on pose

wO=/, OB = R, OA = 0"A" = «,

on trouvera {Analyse appliquée, chap. XIV) que les équations du tore et du conoïde sont :

( / y/^.+j''/ ^ ^. R,^ r ^ - = si^ -^ n/R^— z* ;

SJx^-\-y'' R'

alors en éliminant z, il viendra pour la projection horizontale de l'intersection de ces deux surfaces ,

rsous simplifierons cette équation en y introduisant les coordonnées polaires, au moyen des formules x := r cos u , j = r sin m ; car elle deviendra

sm « = ± sm — :

d'où l'on conclut

ou bien

r^=ll±L «, et r=zlzil (tt — «).

('*s quatre équations distinctes sont celles des quatre spirales construites dans notre épure; et pour ramener la première, par exemple, à l'axe polaire w"a (jui lui est tangent, il n y a qu'à re-