VM P'T

puis, comme la sous-tangente P ' T' dans le cercle équivaut à la sous-tangente dans l'ellipse, P"T" ou PT, multipliée par le rapport du petit axe au grand axe, il vient

, MS OA , . ^ Mw OA , ,

ciller l'origine des angles « , qui se comptent ici à partir et à droite de la ligne wO, en posant

u:=u' — -, d on 11 résultera r= — u . R a

Cette dernière équation est bien celle d'une spirale d'Archimèdp , dont les angles u' sont comptés à partir du rayon mI.

3i2 LIVRE VII. — DES SURFACES GAUCHES.

Or, dans cette dernière expression , la seule quantité qui varie avec le point de contact M, c'est le facteur Mw, lequel devient égala son dénominateur Pw , pour le point particulier O; donc l'inclinaison de la tangente en ce point sera donnée par la formule

tangÔ' = ^ = ^;, (2)

laquelle montre que cette tangente Oa est précisément la diagonale du rectangle construit sur Oa et OB.

FiG 1 27 647. La construction générale du n° 645 est encore insuffisante pour obtenir les tangentes aux quatre points F, G, g,/, qui sont à la naissance de la voûte ; parce qu'en ces points, les plans tangents des deux surfaces devenant verticaux, leur intersection est une verticale qui serait bien tangente à la courbe d'arête dans l'espace, mais qui se réduit à un seul point en projection horizontale, et n'apprend plus rien sur la tangente de la courbe plane G(y, au point G. Cependant, si nous recourons encore à la formule (i), elle deviendra pour le point G,

f—\ o - ,, \ Aw y GB / „ .

car les arcs OA et GB sont semblables et proportionnels à leurs rayons Aw et Gw. D'où il résulte évidemment que la tangente en G sera la diagonale du rectangle construit sur GA et sur l'arc GB rectifié ; opération extrêmement simple que, pour laisser plus de clarté dans l'épure, nous avons effectuée au point F, en formant un rectangle avec FD et Fê = FB.

648. 11 est même à remarquer que cette méthode très-avantageuse s'applique aussi au point quelconque M ; car, si dans la formule générale (i) , on remplace le rapport de OA à OB = AG, par celui de OP à PM, qui lui est égal d'après le

n** G45 , il viendra

Mw ^„ — . OP , Pw MI , ,,

tang6 = -pj^ =-; (4)

ce qui prouve que la tangente LMK peut s'obtenir immédiatement, en formant sur MP et l'arc MI rectifié, un rectangle dont la diagonale sera la tangente cherchée. Ici, nous n'avons tracé que la moitié de ce rectangle, en prenant PL = MI, et tirant LM qui devra coïncider avec la tangente MK déjà construite.