CHAPITRE PREMIER
.Sur la courbure et les développées des lignes courbes.
649. Une courbe et sa tangente, qui n'ont en général qu'un seul élément de commun, sont dites avoir entre elles un contact au premier ordre ; mais, comme dans certaines questions on a besoin de considérer des lignes qui approchent de se confondre avec la courbe proposée, plus que ne fait la tangente, il est nécessaire de distinguer ces rapprochements plus ou moins intimes, et l'on dit que deux courbes quelconques , planes ou non , offrent un contact du premier , SE- COND, troisième ORDRE, selon quelles ont UN, DEUX, TROIS, ÉLÉMENTS
consécutifs de communs.
650. Gomme le contact du second ordre se présentera très-fréquemment dans les applications géométriques , nous le désignerons souvent par le nom abrégé d'osculation ; ainsi deux courbes osculatrices seront celles qui auront deux éléments communs. Pour en donner un exemple qui nous deviendra fort utile
par la suite, considérons une courbe quelconque AMB , et après l'avoir parta- FiG. 1 29. gée en éléments égaux (*), élevons sur les milieux de MM' et M'M", deux normales KO et K'O situées dans le planMM'M.'\ lequel ne contiendra les autres éléments de AMB qu'autant que cette courbe sera plane. Alors, le point O où ces deux normales se couperont, sera le centre d'un cercle aMê qui, passant évidemment par les trois points M, M', M", aura ainsi deux éléments MM' et M'M" communs avec AMB, et sera par conséquent le cercle osculateur de cette
(*) Si ces éléments étaient inégaux, mais toujours infiniment petits, les mêmes conséquences subsisteraient, comme le calcul le prouve aisément. Toutefois, pour abréger les démonstrations , il est plus simple de supposer qu'on a choisi des éléments égaux , ce qui est toujours permis. Voyez V Analyse appliquée, chap. XVI, n° 5Sl.
3l4 LIVRE VIII. — COURBURE DES LIGNES ET DES SURFACES.
courbe, pour le point M. Le rayon de ce cercle sera Tune des trois distances égales OM, OM', OM"; mais on peut adopter en place, Tune des deux normales égales OK et OK', parce que la différence n'est qu'un infiniment petit du second ordre. [Voyez n 197.)
651. On voit par là que le cercle osculateur est unique pour chaque point M assigné sur la courbe AMB, tandis qu'il existe une infinité de cercles simplement tangents dans ce point; mais le cercle osculateur variera de position et de grandeur en passant aux points M', M", .-•} puisque alors il faudra opérer semblablement sur les deux éléments consécutifs M'M" et M"M ', M"M"' et M"'M"", ..., ce qui changera le rayon KO en K'O', K'O", .... Nous examinerons tout à l'heure (n" 058 ) si ces rayons se coupent consécutivement.
652. Le plan du cercle osculateur, qui n'est autre que celui de deux éléments consécutifs MM' et M 'M", oude deux tangentes infiniment voisines MTetM'T', se nomme aussi le plan osculateur de la courbe AMB pour le point M ; et à moins que cette dernière ne soit plane , ce plan osculateur variera en passant d'un point à un autre de AMB. D'ailleurs , deux plans osculateurs consécutifs TM'T' et T'M"T", se couperont toujours suivant l'élément intermédiaire M'M".
FiG. I 29. 655. Quant à la courbure de la ligue AMB au point M, nous avons déjà dit (n" 198) qu'fclleétait mesurée par l'angle TM'T' compris entre deux tangentes infiniment voisines, parce que cet angle, nommé angle de contingence ou de courbure, exprime évidemment la quantité dont il a fallu écarter l'élément M'M" de sa direction primitive M'T, pour plier la ligne droite MM'T suivant la ligne
polygonale MM 'M" M'" (*). Or l'angle TM'T' égale KOK'; et comme ce
dernier a pour mesure l'arc s décrit avec un rayon égal à l'unité, tandis qu'il comprend un arc KM'K' du cercle osculateur dont le rayon est OR=p, on aura pour l'expression delà courbure au point M,
KM' K^ ds
^~' OK ~ y
Mais la courbe ayant été divisée en éléments égaux , la quantité ds sera constante pour tous ses points, et l'on pourra dire que la courbure varie d'un pointa
(*) Il tst bon d'observer que l'angle de contingence TM'T' est aussi égal à l'angle de deux \t\din% normaux consécutifs, puisque ces plans seraient perpendiculaires sur les milieux des deux éléments MM' et M'M".
