CHAPITRE I. — COUKBURK ET DÉVELOPPÉES DES LIGNE». 3l

un antre , en raison inverse du rayon OK = ^ qui , pour cette raison, se nomme aussi le rayon de courbure de la courbe au point iVf .

Observons toutefois que, pour avoir la mesure exacte de la courbure d'une ligne, et pour rendre cette mesure applicable à deux courbes différentes dans lesquelles les éléments, quoique infiniment petits, pourraient se trouver inégaux de Tune à l'autre , et même avoir un rapport déterminé et nécessaire, il faut considérer, non pas la grandeur absolue de l'angle de contingence e, mais bien son rapport avec l'élément ds; parce que c'est seulement sur deux arcs de même longueur, que l'angle extérieur des tangentes extrêmes peut manifester , avec précision , la courbure plus ou moins prononcée de l'un de ces arcs par rapport à l'autre. Par exemple , dans deux cercles concentriques dont les rayons seraient doubles et les circonférences divisées chacune en un même nombre d'éléments égaux, les angles de contingence correspondants aux mêmes rayons seraient égaux, et cependant la courbure des deux cercles serait évidemment différente; mais, si l'on fait attention que les éléments delà grande circonférence ont une longueur double de ceux de la seconde, on

reconnaîtra que le rapport -7- indique effectivement une courbure moitié

plus faible pour le grand cercle que pour le petit. Concluons tlonc de là que la véritable expression de la courbure d'une ligne quelconque , sera toujours donnée par le rapport

p désignant le rayon du cercle osculateur de la courbe , au point considéré.

654. Tout ce qui précède convient également aux courbes planes et aux courbes gauches : nous nous servons ici , avec M. Vallée, de cette dernière expression , au lieu de courbe à double courbure, tant pour abréger que pour éviter l'emploi du mot courbure dans un sens inexact. En effet, une ligne qui n'est point plane, n'admet qu'une seule courbure qui s'estime comme au numéro précédent; mais elle offre en outre une flexion, ou plutôt une torsion, qui a été produite en faisant tourner l'un des deux plans osculateurs consécutifs TM'T' et T'M"T", autour de l'élément commun M' M"; de sorte que dans une courbe gauche, la torsion est mesurée en chaque point, par iangle des deux plans oscidateurs voisins. Or, si l'on rendait nul cet angle, en rabattant le plan TM'T sur TM'T', par une rotation autour de la droite M'M", la torsion disparaîtrait et la courbe deviendrait plane dans les environs du point considéré, sans que sa courbure eût augmenté ou diminué, puisque les angles

3l6 LIVRE VIII. — COURBURE DES LIGNES ET DES SURFACES.

de contingence TM'T' etT'M"T" seraient demeurés constants; tandis que, sans rien changer dans la position de ces deux plans osculateurs , ou dans la torsion de la courbe , on peut altérer sa courbure en écartant ou rapprochant les deux éléments MM' et M' M" : par conséquent, la courbure et la torsion d une ligne sont des modifications indépendantes Tune de l'autre. Mais les courbes planes et les courbes gauches présentent , quant au lieu de leurs centres de courbure , une différence essentielle que nous allons faire ressortir.

Fi G. 129, 655. Il existe toujours une infinité de normales , pour un même point assigné sur une courbe quelconque; mais la normale KO suivant laquelle est dirigé le rayon de courbure au point M, doit être tracée (n°650) dans le plan osculateur MM'M", et nous la distinguerons par le nom de normale principale. Or , quand la courbe AMB est plane , toutes les normales principales relatives aux divers points M, M', M",... se trouvent dans son plan ; et par suite elles se coupent consécutivement de manière à former une courbe OO'O". ... à laquelle ces diverses normales sont évidemment tangentes ; d'où il suit (n° 199) qu'un fil 0"'0"0'0K plié sur cette développée , et déroulé successivement, décrirait par son extrémité K la ligne AMM'M"B.

FiG. I30- 656. Au contraire, quand la courbe proposée est gauche, les non nales principales , ou les rayons de courbure , ne se rencontrent plus consécutivement. En effet {^fig. i3o), concevons par les milieux K, K', K", . . . . des divers

éléments, les plans normaux PQS, P'Q'S', P"Q"S", qui se couperont

deux à deux suivant les droites QS , Q' S', . . . . et formeront ainsi une surface développable (n° 186) , enveloppe de tous ces plans. Alors, si nous coupons les plans P et P' par le plan osculateur MM'M" qui est perpendiculaire à ces deux-là, nous obtiendrons pour intersections les deux normales KO et K'O qui déterminent évidemment le centre O du cercle osculateur correspondant au point M, et dont la première sera le rayon de courbure relatif à ce point (*). De même , en coupant les plans normaux P' et P" par le second plan osculateur M'M*'M"', nous aurons pour sections les normales K'O' et K"0' dont la première sera aussi le rayon de courbure relatif au point M'. Or ce rayon K'O' ne coïncide pas avec l'autre normale K'O , puisque ces droites proviennent du même plan P' coupé par deux plans osculateurs distincts :

(*) Il nous sera utile, plus tard, d'observer ici que cela revient à abaisser du point K, une perpendiculaire KO sur la génératrice QS de la surface enveloppe des plans normaux.