CHAPITRE I. -^ COURBURE ET DÉVELOPPÉES DES LIGNES. Sl-j

ainsi K'O'^va rencontrer QS en un point I différent de O; et par conséquent les deux rayons de courbure consécutifs KO et K'O', n'ayant pas de point commun sur l'intei-section QS des plans P et P' qui les contiennent, ne sauraient eux-mêmes se rencontrer.

657. Il résulte de laque les centresde courbure O, O', O",.-. n'étant pas> donnés par les intersections successives des rayons de courbure KO, K'O', K"0",..., la courbe que l'on ferait passer par tous ces centres n'aurait pas pour tangentes ces mêmes rayons ; et par conséquent ceux-ci ne sauraient être regardés comme formés par le développement d'un fil qui entourerait la ligne OO'O".... Donc enfin, le lieu des centres de courbure dune courbe gauche AMM'M" .... nestpointune développée de cette dernière ligne.

608. Cependant la courbe gauche AMM'M".... admet une infinité de déve- Fig. i3o. loppées, ainsi que MoNGE Ta fait voir. En effet, si dans le premier plan normal P , nous traçons arbitrairement une droite Kl) , qui sera toujours normale à la courbe proposée, et ira rencontrer QS en un point D : puis, que par les points K' et D nous tirions la droite K'DD' qui sera dans le second plan normal P', puis la droite K"D'D" située dans le plan P", et ainsi de suite; nous obtiendrons, par les intersections successives de ces normales, une courbe DD'D"D"'.... à laquelle elles seront tangentes, et qui pourra servir à décrire la ligne AMM' ....

par le développement d'un fil enroulé autour de cette développée DD'D"

Pour le prouver, il suffit de faire voir que les portions DK et DK' des tangentes à cette développée, sont égales entre elles, ou bien que le point D est à égale distance des trois points M, M', M"; or cela résulte de ce que la droite QS étant l'intersection de deux plans P et P' élevés perpendiculairement sur les milieux des éléments égaux MM' etM'M", chaque point de QS est à la même distance de M, de M' et de M" : aussi cette droite QS est appelée la ligne des pôles de l'arc MM'M", et les distances DK, D'K', D"K", .... sont les rayons de développée

qu'il ne faut pas confondre avec les rayons de courbure KO, K'O', K"0",

D'ailleurs, comme la première normale KD a été menée arbitrairement dans le plan P, on pourra donc, en faisant varier la direction de cette normede, obtenir une infinité de développées, situées toutes sur la surface développable qui est l'enveloppe des plans normaux P, P', P", .... de la courbe AMM'M"....

659. Cette surface lieu de toutes les développées de la courbe AMM' ...., ou bien lieu de tous les pôles de cette ligne, a pour génératrices rectilignes les intersections successives QS, Q'S', Q"S", .... des plans normaux ; et ces droites, qui se coupent nécessairement deux à deux, forment ainsi (n° 178) l arête de rebroussement UV de cette surface développable. D'ailleurs, puisque chaque généra-

3 [8 LIVRE VIII. — COURBURE Df:S LJGKES ET DES SURFACES.

trice QS est perpendiculaire au plan osculateur correspondant MM'M", et passe par le centre de courbure O où se coupent les deux normales égales KO et K'O, il en résulte évidemment que les angles KDO et K/DO , formés par deux tangentes de la développée avec la génératrice intermédiaire QS, sont égaux; et par suite (n** 1^7), on peut affirmer que chaque développée DD'D" .... deviendra une ligne droite, quand on développera la surface enveloppe des plans normaux. Gela revient à dire (n° 187) que cette développée est la ligne la plus courte qui puisse être tracée sur la surface développable, entre deux de ses points; par conséquent un fil qui, attaché en K, serait tendu et plié librement sur cette surface développable , prendrait de lui-même la forme d'une des développées KDD'D" ...., puisque cause de son élasticité, ce fil ne pourra demeurer eu équilibre sur la surface qu'autant qu'il aura suivi la route la plus courte.

« D'après cela, dit Monge, on conçoit comment il est possible d'engendrer, par un mouvement continu , une courbe quelconque à double courbure. Car, après avoir exécuté la surface développable touchée par tous les plans normaux de la courbe, si du point donné dans l'espace et par lequella courbe doit passer, on dirige deux fils tangents à cette surface ; et si, après les avoir plies sur la surface en les tendant, on les fixe par leurs autres extrémités; le point de réunion des deux fils , qui aura la faculté de se mouvoir avec le plan tangent à la surface, sans glisser ni sur l'un des fils ni sur l'autre, engendrera dans son mouvement , la courbe proposée. »

FiG. i3o. 660. Lorsque la courbe AMM' .... sera sp/îe'n^ue, c'est-à-dire sitU'Je entièrement sur une sphère d'un rayon quelconque, tous les plans normaux P, P',P', ... iront passer nécessairement par le centre de cette sphère, et leur enveloppe, qui est le lieu de toutes les développées deAMM'...., se réduira ici à un cône dont le sommet sera placé au centre de la sphère en question. Ce point unique pourra donc être considéré comme étant une développée particulière de la courbe AMM' .... ; et en effet, un fil attaché à ce centre pourra tourner autour de ce point, sans s'allonger sensiblement, tandis que son autre extrémité demeurera sur la courbe AMM'.... dont tous les points sont à une distance constante du centre.

661. Enfin, si la courbe AMM'..., était plane, tous les plans normaux

P, P', P", seraient perpendiculaires au plan de cette courbe , aussi bien que

leurs intersections consécutives QS, Q'S', ; de sorte que l'enveloppe de ces

plans normaux se réduirait à un cylindre, sur lequel seraient situées toutes les

développées gu admettrait encore la courbe plane Èi^lW En outre, chacune de

ces développées DD'D".... serait alors une hélice; car ses diverses tangentes,