CHAPITRE I. — COURBURE ET DÉVELOPPÉES DES LIGNES. 3li

OU les rayons de développée KD, K'D',..., formeraient tous des angles égaux ( n° 639) avec les droites parallèles QS , Q'S', .... qui sont les génératrices de ce cylindre. D'ailleurs, le lieu des centres de courbure OO'O".... redeviendrait ici une véritable développée , puisque cette courbe serait la section droite du cylindre enveloppe, et qu'on peut dès lors la regarder comme une hélice dont le

pas est nul : mais cette ligne OO'O" serait, parmi toutes les développées

delà courbe AMM' ...., la seule qui fût plane. Ainsi, par exemple [fig. 96), la

développante de cercle ABGDL a pour développée plane le cercle A^yâl....;

tandis qu'elle admet pour développées gauches toutes les hélices qui, comme (Agyo'^X..., A'§'7'c5"X'...), ont leur origine au point (A, A').

(i62. Observons ici que le cercle osculateur aMê de la courbe plane AMB, Fig. i -jc). traverse ordinairement cette courbe, c'est-à-dire que s'il se trouve en dehors à gauche du point M, à droite il sera en dedans de la courbe. En effet, la partie rectiligne OK du fil qui entoure la développée OO'O"...., va continuellement en augmentante mesure que Ton déroule ce fil; donc les rayons de courbure qui précèdent OK , sont plus petits que cette droite, et ceux qui le suivent sont plus grands ; donc aussi l'arc MA de la courbe proposée sera embrassé par l'arc de cercle Ma, tandis que M'Bse trouvera en dehors de !M"ê, du moins dans les environs du point considéré M. Cependant, lorsque la développée présente un point de lebroussement, comme cela arrive aux sommets d'une ellipse {fig. 76), alors le rayon de courbure devient un minimum ou un maximum, et le cercle osculateur se trouve, tant à droite quà gauche du point de contact, placé en dedans de la courbe , ou bien en dehors. Dans ce cas particulier , le cercle osculateur acquiert un contact du troisième ordre avec la courbe.

665. Une circoustance analogue se présente pour le plan osculateur MM' M" FiG 1 .3o. d'une courbe gauche AMB; c'est-à-dire que ce plan traverse ordinairement la courbe, en laissant au-dessous de lui l'arc MA, et au-dessus l'arc M"B, parce que la torsion des éléments, produite (n° 654) par la différence d'inclinaison des plans osculateurs consécutifs, persévère en général dans le même sens. Cependant , comme par suite de la continuité de la courbe proposée , l'inclinaison du plan osculateur ne varie que par degrés infiniment petits, s'il existe un point singulier où cette torsion change de sens , cela ne pourra arriver qu'autant que \ angle de torsion aura passé par zéro; et dans cet endroit de la courbe, trois éléments consécutifs seront situés dans un même plan osculateur, lequel se trouvera alors tout entier au-dessus de la courbe AMB, ou bien tout entier au-dessous.

664. Construire le plan osculateur relatif à un point assigné sur une courbe gaucfie ?

FiG. 5 j . Soit N le point assigné sur la courbe gauche VNU , laquelle devra être définie par ses deux projections. Si, pour obtenir approximativement deux tanpentes infiniment voisines, on menait celle du point N et une autre extrêmement voisine, deux droites aussi rapprochées détermineraient, avec peu de précision, les traces du plan qui les contient. Il vaudra donc mieux construire diverses tangentes à la courbe VU, pour le point N et pour d'autres situés à de médiocres distances, en arrière et en avant de N; puis chercher les traces de ces tangentes sur le plan horizontal , par exemple, et réunir tous ces points par une courbe continue ALD qui sera la trace de la surface développable lieu de toutes les tangentes à la courbe VU. Alors, comme on sait (n° 181) que le olan tangent de cette surface est le plan osculateur de son arête de rebroussement, il n'y aura qu'à mener la tangente Ld à la trace ALD , et le plan NL^ sera le plan osculateur demandé.

665. Construire le rayon de courbure relatif à un point donné sur une courbe qauche ?

Soit M le point donné sur la courbe gauche que nous désignerons par A : construisons comme ci-dessus , le plan osculateur n correspondant au point M , et projetons-y la courbe A, qui deviendra une autre ligne B ayant évidemment deux éléments communs avec la première. Dès-lors , la courbure de A étant la même que celle de B en M, la question sera réduite à trouver le rayon de courbure d'une courbe B qui est plane.

FiG. lAi. 666. Pour résoudre ce dernier problème, soit MN la normale de B au

point donné M , et MC , MC, diverses cordes partant de ce même

point. Si par le milieu de la corde MC , on lui mène une perpendiculaire IP, et que par le point P où elle va couper la normale MN, on élève sur cette dernière droite , une perpendiculaire Pa = MG ; puis , si l'on répète des constructions analogues pour les autres cordes, la courbe aaV/'êê' ira couper la normale MN en un point O qui déterminera le rayon de courbure MO de la ligne proposée. En effet , lorsque la corde MC" diminue de plus en plus, l'ordonnée P"a" décroît pareillement, et la perpendiculaire l'P" approche davantage d'être normale à la courbe MB ; donc , le point O où la ligne auxiliaire aa'ê ira couper MN, sera bien l'intersection de cette normale avec une normale infiniment voisine ; et par conséquent le rayon de courbure de la ligne B pour le point M, aura bien pour longueur MO (*).

(*) Cette njéthode est tirée de la Géométrie des courbes, par M. Bergery; et elle offre