CHAPITRE I. —COURBURE ET DÉVELOPPÉES DES LIGNES

667. Etant donnée une courbe quelconque A ^ construire une de ses développées,

et le lieu des centres de courbure. ^

On mènera divers plans normaux à cette courbe , par des points assez rapprochés; et après avoir construit leurs traces sur les deux plans de projection , on décrira une courbe a tangente à toutes les traces horizontales , puis une courbe ê tangente à toutes les traces verticales. Ces deux courbes a, ê, seront évidemment les traces de la surface 2 lieu de toutes les développées de A (n° 659) ; et l'on obtiendra diverses génératrices G, G', G", . . . de cette surface développable , en joignant deux à deux les points où les courbes a et ê sont touchées par un même plan normal. Gela posé, du point de départ M choisi à volonté sur la courbe A, on mènera une tangente MD à la surface 2 , puis on effectuera le développement de 2 sur un plan quelconque , où la développée cherchée , devant être une ligne droite (n° 659 ) , ne sera autre chose que le prolongement indéfini de MD. Alors, en marquant

lès points où cette droite MD rencontre chacune des génératrices y, y', y",

de 2 développée, puis rapportant ces points sur les génératrices primitives

G, G', G", , on obtiendra la développée qui est tangente au rayon MD. En

faisant varier cette droite qui a pu être tracée de bien des manières , on trouverait d'autres développées de la courbe A.

668. Si du point M on abaisse une perpendiculaire sur la génératrice G qui se trouve dans le plan normal relatif à M , le pied de cette perpendiculaire sera le centre de courbure de A pour le point M (n° 656, note); et le lieu de tous les centres de courbure s'obtiendrait en répétant cette construction pour divers points M', M", ... de la ligne donnée A.

Ces diverses opérations seront ordinairement très-laborieuses ; mais elles deviendront assez simples dans plusieurs cas intéressants , comme cela arrive pour les deux exemples que nous allons étudier, et qui serviront d'ailleurs à éclaircir la généralité des considérations précédentes.

669. Etant donnée une développante sphérique, projetée sur DMPGQF, trouver FiG. i o i le lieu de ses centres de courbure, et l'une de ses développées.

Nous avons dit au n** 493 que cette épicycloïde particulière est engendrée par un point m d'un cercle mobile S", dont le plan roule sur un cône fixe S'AE , pendant que son centre coïncide perpétuellement avec le sommet S'

l'avantage que la courbe auxiliaire vient couper à angle droit la normale donnée, ce qui fixe mieux la position du point cherché.

de ce cône ; on a vu aussi au n° 495 que le plan normal de cette courbe , pour un point quelconque (M, M') , est le plan S'AV dans lequel se trouve alors le cercle mobile, et qui est tangent au cône fixe S'x\E. Il s'ensuit donc que ce cône est précisément la surface enveloppe de tous les plans normaux , dont nous avons parlé au n" 659 , et sur laquelle doivent être placées toutes les développées et tous les centres de courbure de la développante sphérique DMPGQF; ainsi, d'après la note du n° 656, si nous abaissons du point (M, M') la perpendiculaire (MR, M') sur la génératrice de contact S'A du plan normal, le pied (R, M') de cette perpendiculaire sera le centre de courbure correspondante (M, M'), et la vraie (grandeur du rayon de courbure sera RM. Semblablement , lorsque le point générateur se trouvera projeté en Ng , époque où le contact du cercle mobile est arrivé en Ag , la perpendiculaire NgRg abaissée sur la génératrice OAg sera le rayon de courbure, et Rg la projection du centre de courbure : sa projection verticale serait facile à obtenir. Enfin, pour le point P qui répond à un quart de la révolution du cercle mobile , le rayon de courbure sera PO égal à S"A ; de sorte que le lieu des centres de courbure aura pour projection horizontale une courbe à double nœud DRR gOR gG . . . O . . . F que nous n'avons pas achevée , afin d'éviter la confusion , mais, qui passerait deux fois par le point O , et dont la partie ORgGO répond à un arc situé sur la nappe supérieure du cône S'AE.

670. Pour suppléer à la projection verticale que nous n'avons pas voulu tracer ici, nous allons construire sur le plan du cercle mobile , les positions occupées successivement par tous les centres de courbure. Or, d'après la méthode exposée ci-dessus pour le point quelconque (M, M') de la développante sphérique , on doit voir que si l'on tire les rayons S"a 4 , S "rt g , S"a e , • • • qui représentent les génératrices suivant lesquelles le cône est touché successivement par le plan du cercle mobile, et qu'on leur mène les perpendiculaires mr4 , mr^ , mVfi , parties du point générateur m , ces perpendiculaires seront les longueurs précises des divers rayons de courbure ; et leurs pieds qui forment évidemment une circonférence de cercle, iront coïncider tour à tour avec les vrais centres de courbure de la développante sphérique , lorsqu'on fera rouler le cercle S"A sur le cône S'AE. Il en serait de même si l'on ployait le plan de ce cercle pour l'appliquer sur le cône, par une opération inverse de celle qui sert à développer cette surface; de sorte que la circonférence mrr^rgS'Vg.... peut être regardée comme la transformée du lieu des centres de courbure ,