CHAPITRE I. — COURBURE ET DÉVELOPPÉES DES LIGNES

lorsqu'on développe le cône S'AE qui contient réellement tous ces centres (*).

671. Quant à la construction d'une développée de la développante spbérique, il faut se rappeler (n° 659) qu'une pareille courbe doit devenir rectiligne lorsqu'on développera la surface enveloppe de tous les plans normaux , laquelle est ici le cône S'AE. Si donc , sur le cercle rabattu en S", on trace une droite arbitraire partant de m, telle que moc^yâ^ il n'y aura plus qu'à transporter sur le cône S'AE les points a, ê, y, . . . où cette droite rencontre les divers rayons S"a ^ , S"a^, S"a^,. . . . qui représentent autant de génératrices de ce cône ; or il est bien facile de retrouver les véritables positions de ces génératrices sur les deux plans de projection, et d'y rapporter à partir du sommet S' les longueurs S"a, S"ê, S"7, . . . , ce qui fournira les deux projections de la développée en question. Nous n'avons point effectué ces opérations sur notre épure, afin d'éviter la confusion qui en serait résultée pour le lecteur; mais nous les achèverons dans le problème suivant, où les résultats offriront . plus d'intérêt.

672. Étant donnée une hélice à base circulaire (ABGDEF...., A'B'G'D'E'F'....), FiG. 1 28. trouver le lieu de ses centres de courbure, et l'une de ses développées?

Après avoir construit la tangente (ET, E'T') de cette hélice, menons le plan normal correspondant E'N'N, lequel passe évidemment par le rayon (OE, E') du cylindre qui contient cette hélice, et fait avec l'axe vertical O un angle complémentaire de celui que forme la tangente. Or cette dernière ligne ayant une inclinaison constante ( n^ 450 ) , quelle que soit la position du point de contact (E, E') sur l'hélice, il s'ensuit que tous les plans normaux de cette courbe auront pareillement une inclinaison constante, et que chacun passera par le rayon du cylindre qui aboutira au point considéré sur l'hélice. Par conséquent , si l'on conçoit que ces plans normaux soient menés par des points infiniment voisins , pris à distances égales sur l'hélice proposée, ils se couperont consécutivement suivant des droites qui auront toutes des positions parfaitement symétriques relativement à l'axe vertical O ; c'est-à-dire que ces droites seront également inclinées sur cet axe , et

(*) Ce résultat remarquable est emprunté à un Mémoire intéressant de M. Th. Olivier, sur les centres de courbure des épicycloïdes, inséré dans le xxiii* cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique. Toutefois, nous croyons devoir avertir que, dans ce Mémoire, il s'est glissé une erreur sur la forme de la projection du lieu des centres de courbure de la développante sphérique ; car cette projection ne saurait être , comme on l'a dit par inadvertance , la développée de la projection horizontale de la développante sphérique.

placées à la même dislance de cette verticale. D'où je conclus que ces droites, intersections des plans normaux consécutifs, se trouveront tangentes à une nouvelle hélice tracée sur un cylindre droit à base circulaire abcde.... dont le rayon est encore inconnu, et qu'elles formeront un hélicoïde dévetoppable (n° 456) qui sera le lieu des pôles, ou le lieu de toutes les développées (n° 659) de l'hélice primitive (ABCDE..., A'B'G'D'E'...).

673. Pour déterminer cet hélicoïde, j'observe que sa trace horizontale sera précisément la développante du cercle inconnu abcde.... (n" 455), et que cette courbe devra être tangente aux traces de tous les plans normaux. Or le plan normal relatif au point (A, A') ayant évidemment une trace AOI qui passe par le centre O, le rayon OI contiendra nécessairement l'origine de cette développante j tandis que la trace N'N perpendiculaire à OI, répondra au premier quart de révolution de cette développante; par conséquent sa distance au centre, c'est-à-dire OI ou en, devra se trouver précisément égale au quart de la circonférence inconnue abcde. Mais déjà il existe une relation semblable entre la soutangente ET et le quart de cercle AE ; donc le rayon OA de ce dernier doit avoir avec ET, le même rapport qu'aura le rayon inconnu Oa avec OI. D'après cette remarque, on tirera la droite A'â' parallèle à E'T', puis â^'a' parallèle à E'N', et cette seconde parallèle déterminera la grandeur O'a' que l'on doit donner au rayon du cercle demandé abcde ; ensuite , on construira l'hélice

(abcde...., a'b'cfd'e' ) de même pas que l'hélice primitive, et ce sera l'arête de

rebroussement de l'hélicoide en question. Cette surface aura d'ailleurs pour trace horizontale la développante anvr du cercle abcde...., et pour génératrices les tangentes de la nouvelle hélice, telles que (e«, E'N'), (Av, /iV), lesquelles représentent les intersections consécutives des plans normaux infiniment voisins, menés à l'héhce (ABGD...., A'B'C'D'....). riG. 120. 674. Pour trouver le rayon de courbure de cette dernière ligne au point (E, E') , par exemple, il faut abaisser de ce point {iiote du n° 656) une perpendiculaire (EOe, E') sur la génératrice {en, E'N') qui est dans le plan normal correspondant au point assigné. Or, comme cette perpendiculaire aboutit évidemment au point (e, E'), et que des résultats semblables arriveraient pour tout autre plan normal , nous en conclurons ces deux théorèmes bien remarquables : i" toute hélice à base circulaire (ABCDE...., A'B'C'D'E'....) a pour lieu de ses centres de courbure, une autre hélice {abcde...., a'b'c'd'é....) déterminée comme ci-dessus; 2° le rayon de courbure de la première hélice est CONSTANT, et égal à la somme OE ~>r Oe des rayons des cylindres ou sont situées ces deux courbes. 675. Réciproquement, on verra aisément par des considérations semblables,