CHAPITRE I. — COURBURE ET DÉVELOPPÉES DES LIGNÇS

que la seconde hélice {abcde.. , a'b'cfd'ef ....) a pour lieu de ses centres de courbure, la première hélice (ABGD..., A'B'G'D'....) ; et que le rayon de courbure de celle-là, est aussi constamment égal à la somme Oe + OE. Gela tient à ce que le plan normal E'N'N de la première hélice, est le plan osculateur (n°465) de la seconde; et qu'aussi le plan normal de celle-ci, qui serait E'T'T perpendiculaire à la tangente (en, E'N'), se trouve le plan osculateur de la première ; de sorte qu'il y a une complète réciprocité entre ces deux hélices , et les angles de contingence et de torsion (n°* 653, 654) dans l'une, sont respectivement égaux aux angles de torsion et de contingence dans l'autre (*).

676. Si l'on veut exprimer par l'analyse la grandeur des rayons de courbure p et p' de ces deux hélices , il n'y a qu'à poser

OA=:R, Oa = r, angleT' = «, N' = 90° — w = w', 0'E' = |A;

et le triangle rectangle A'c^V que nous avons tracé sur l'épure, fournira évidemment la relation ?' = R tang ^ 00 , d'où l'on déduira

p=RH-r = R (i -h tangua)) =:R(i -+- ^^

pour la première hélice; et pour la seconde,

p' = r4-R = r(H-tang2w') =r( I -h

677. Maintenant, construisons une développée de l'hélice (ABGD , FiG. 128.

A'B'G'D'....), en menant d'abord par un point arbitraire (E, E') de cette courbe, une droite qui soit située (n° 658) dans le plan normal E'N'N relatif à ce point; ou bien, une tangente à la surface enveloppe des plans normaux, laquelle surface est ici l'hélicoïde développable qui a pour arête de rebrousse-

(*) Cette réciprocité entre les angles de contingence et de torsion, a lieu pareillement dans une courbe quelconque AMM' M" B {^g. i3o) comparée avec l'arête de rebroussement UV de la surface enveloppe des plans normaux de la première ligne. Car il résulte de ce que nous avons vu au n° 639, que les plans P, P', P ",..., normaux à AMM', sont les plans osculateurs de UV, tandis que les plans osculateurs de AMM', étant perpendiculaires sur QS, Q'S',..., se trouvent seulement parallèles aux plans normaux de UV ; mais cela suffit pour que les angles de contingence et de torsion de AMM'..., soient respectivement égaux aux angles de torsion et de contingence de la ligne UV.

32 6 LIVRE Vin. — COURBURE DES LIGNES ET DES SURFACES.

ment l'hélice (abcd...., a'b'dd'....). Afin d'arriver à des résultats plus symétriques, choisissons pour cette première tangente, le rayon de courbure (Ee, E'), et rappelons-nous qu'après le développement de cet hélicoïde, la développée cherchée deviendra une ligne droite (n° 659) qui devra être le prolongement indéfini de (Ee, E'). Si donc nous voulons développer cet hélicoïde sur son plan tangent E'N'N, il faudra (n° 467) rabattre les tangentes (ne, N'E') et (Na, NV) suivant ns etNa"; puis, élever à leurs extrémités deux perpendiculaires £w et a" Où qui détermineront par leur rencontre, le centre w et le

rayon ws (*) du cercle sX suivant lequel se transformera l'hélice [abcd ,

a'b'c'd'. ....); d'ailleurs, sur ce développement, la droite indéfinie wstt représentera la transformée de la développée cherchée.

Quant à la position que prendra, sur ce développement, la génératrice quelconque (/iv, /iV) de l'hélicoïde , nous l'obtiendrons en prenant l'arc de cercle syj de même longueur que l'arc d'hélice (e/j, E7i'), longueur qui est donnée (n° 468) par l'hypoténuse du triangle E'yj'y?", dont la base E'yj' égale l'arc horizontal eh ; et alors la génératrice cherchée deviendra la tangente Yjn. Or cette dernière allant rencontrer la transformée ws de la développée , au point n , il s'agira de reporter la distance r,Tï sur la génératrice primitive ( hv, h'v'); pour cela, on prendra Thypoténuse E'n" =Yjn^ et la base E'n' de ce nouveau triangle rectangle, étant portée de /t en p, fournira évidemment la projection horizontale p, puis la projection verticale p', d'un point de la développée cherchée, laquelle sera (epx, E'p'x').

678. Ainsi, un fil enroulé sur cette branche suivant la direction (xpeE,

x'p'E')^ décrira par son extrémité (E, E'), la partie supérieure (EFGH ,

E'F'G'H' ) de l'hélice donnée, du moins jusqu'à une certaine limite que

nous allons déterminer; et le rayon de développée aboutissant au point (p, //), sera la tangente (Hp, Wp'). Quant à la partie inférieure (EDGB..., E'D'G'B'...), elle aura pour développée une autre branche (ePX, E'P'X') qui se construira comme la première, ou plutôt qui s'en déduira immédiatement, en cherchant des points (P, P') placés symétriquement avec (p, p').

(*) Ce rayon ws doit se trouver égal à Ee , puisque c'est là le rayon de courbure (n° 674) de l'hélice [abcd..., a'b'c'd' ...) , et que cette ligne ne doit pas changer de courbure, quand on développe la surface dont elle est l'arête de rebroussement (n° 179, note). Ainsi il aurait mieux valu rabattre une seule tangente suivant m , puis élever la perpendiculaire £w égale à Ee , laquelle aurait suffi pour tracer le cercle £/ : c'est la marche que nous avons déjà conseillée au n" 468.