CHAPITRE I. — COURBURE ET DÉVELOPPÉES DES LIGNES. 32'J

679. Il y aura sur le développement de l'hélicoïde , une tangente Ip parallèle à la transformée wêtt de la développée : donc , si nous rapportons le point 1 sur l'hélice , en prenant l'arc de cercle ehl égal à la base E' X' du triangle rectangle E'X"X' dont l'hypoténuse est l'arc eX rectifié, la génératrice (/r, l'r') de l'hélicoïde correspondra à Xp , et n'ira plus rencontrer la développée {epx, E'p'x') qu'à l'infini. Toutefois, ce n'est pas là l'asymptote de cette branche; car une pareille droite doit non-seulement rencontrer la courbe en un point infiniment éloigné, mais aussi lui être tangente. Or, puisqu'au point (p, p') situé sur la génératrice (Av, li'v')^ la tangente était (H/9, U'p'); pour le point infiniment éloigné situé sur (/r, /'r'), la véritable tangente, ou V asymptote , partira du point (L, L') diamétralement opposé à (/, /'), et sera la droite (Lz, LV) parallèle à (/r, l'r').

680. On voit par-là que la branche de développée ( epx, E'p'x' ) , quoique infinie, ne peut servir qu'à décrire la portion d'hélice (EKL, E'K'L'); et quand le point générateur (E, E') du fil mobile, est arrivé en (L, L'), il faut que ce fil prolongé en sens contraire (LZ, L'Z'), et fixé à son extrémité opposée, recommence à se plier sur une nouvelle branche (YQ6, X'Q'b") qui a la même asymptote, et qui servira à décrire un second arc d'hélice (LAB, L'A"B") égal au précédent. Pour construire cette nouvelle branche de développée, dont la projection horizontale doit être évidemment symétrique de epx, on prendra l'arc lh = le, puis on décrira la circonférence f P^Q , sur laquelle on placera le point Q à gauche du rayon 0/>, comme le point p était placé à droite du rayon Oe; enfin, on projettera Q en Q', en élevant ce dernier audessus de l'horizontale B"b" de la même quantité dont le point p' est abaissé au-dessous de'E'X'.

681. A la branche de développée (YQ6, Y'Q'b") succédera une troisième branche {bqy, ^"^'y') dont chaque point (</, q') se construira comme précédemment, et d'une manière que notre épure rend assez visible; cette troisième branche servira à décrire un nouvel arc d'hélice (DES, B"E"S") toujours égal aux précédents , et ainsi de suite. L'asymptote de cette dernière branche serait encore parallèle à la génératrice de l'hélicoïde , qui partirait du point diamétralement opposé à (S, S"); mais il sera plus simple de mener au cercle la tangente SWU, qui coupera LZ au point W situé sur le rayon 06; et comme ce point serait projeté en W sur la première asymptote, il faudra placer le point W" à la même hauteur au-dessus de B"6"; puis tirer la droite W"U' de manière à former avec la verticale, le même angle que WZ'.

682. Quant à l'asymptote (VÇ, V"Ç') de la branche (ePX, E'P'X'), sa pro-

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jection horizontale a une position symétrique de Vz; et sa projection verticale étant évidemment parallèle à Vz', il suffira de la mener par le point V" placé au-dessous de E% comme le point V est au-dessus. FiG. I 28. 685. Pour mieux saisir la liaison de ces diverses branches de la développée totale d'une hélice , et bien comprendre la description de cette courbe par un mouvement contimi, sans être obligé de transporter le point d'attache du fil mobile , d'une branche sur l'autre , il n'y a qu'à se représenter une droite indéfinie et inflexible, placée d'abord dans la position horizontale (Ee,E'), laquelle roule, sans glisser, sur la branche (ejox, ^'p'x') en lui demeurant tangente. Dans ce mouvement, le point générateur (E, E') commencera par décrire l'arc d'hélice ( EKL , E'R'L' ) , et lorsqu'il sera parvenu en (L, L'), la droite mobile sera devenue l'asymptote (Lz, L'z'); mais, comme au même instant cette droite touchera à l'infini la seconde branche (6Y, b"Y'), si elle recommence à rouler en sens contraire sur cette dernière branche, pour se rapprocher de la position horizontale (B/>W, B"6"), le point générateur décrira dans cette seconde période de son mouvement non interrompu, l'arc d'hélice (LAB, L'A'^B"). Puis, si de la position horizontale (B6, B "6" ), la droite mobile vient à rouler sur la troisième branche i^bqy-, b"q'y')^ le point générateur décrira un nouvel arc d'hélice (BES, B"E"S"), jusqu'à ce que la droite ait pris la position de l'asymptote (SWU, S" W"U'); d'où elle passera, sans interruption , sur une quatrième branche qui a la même asymptote , et ainsi de suite.

Si l'on éprouvait quelque difficulté à suivre ces divers mouvements dans l'espace, on pourrait d'abord les étudier sur une sinusoïde (n° 451, note), courbe plane dont la développée située dans son plan, offre ainsi des branches infinies qui ont, deux à deux, une asymptote commune.