CHAPITRE II. — DE LA COURBURE DES SURFACES
Mais on doit sentir que, parmi toutes les sphères qui peuvent toucher une surface S en un point donné, aucune ne saurait lui être osculatrice; puisque la courbure d'une sphère est uniforme tout autour de sa normale, tandis qu'il n'en est pas ainsi d'une surface quelconque. Alors, pour estimer la courbure de cette dernière en un point donné, on cherche les rayons de courbure des diverses sections normales , et par leur comparaison, on acquiert des notions précises sur la forme plus ou moins aplatie de la surface autour du point considéré , ainsi que sur sa position par rapport à son plan tangent. Or il existe , entre les rayons de courbure de ces sections normales, une loi bien remarquable que nous allons d'abord étudier sur les surfaces du second degré.
685. Dans un ellipsoïde dont les trois demi-axes sont OA = a, OB = 6, FiG. i3i OC = c, considérons spécialement un sommet G, pour lequel la normale est l'axe COZ perpendiculaire aux tangentes GX et GY des deux ellipses principales G A et GB. Si nous menons par ce point un troisième plan normal VGZ, dont la trace sur le plan tangent XGY soit GV, il coupera la surface suivant une ellipse GD qui aura évidemment pour demi-axes OG = c et OD = d. Or on sait (n° 200) que les rayons de courbure au sommet G des trois ellipses GA, GB, GD, ont pour grandeurs respectives
GG=-=R, GH = -=:R', GI = - = û;
et comme le demi-diamètre d de l'ellipse ADB, aura toujours une longueur comprise entre a et 6, on voit qu'en supposant a<^b, le rayon p se trouvera toujours plus grand que R et plus petit que R'; c'est-à-dire que de toutes les sections normales faites par le sommet G, la courbe GA est la section de courbure maximum puisque son rayon R est le plus petit (n° 653), et la courbe GB est la section de courbure minimum puisque son rayon R' est plus grand que tout autre.
D'ailleurs, si l'on désigne par ip l'angle que fait le plan normal VGZ avec le plan principal XGZ , <p sera aussi l'angle compris entre l'axe OA et le diamètre OD de l'ellipse ADB ; et l'on sait que la longueur de ce diamètre est donnée par l'équation
:;- = — cos"* ©-Ht- sm^œ.
Donc, en multipliant tous les termes par c, et ayant égard aux valeurs pré-
33o LIVRE VIII. — COURBURE DES LIGNES ET DES SURFACES.
cédentes des rayons p, R , R', il viendra
= - 008=^9 H- -, sin^ 9, (i)
relation qui permettra de calculer immédiatement le rayon de courbure p dune section normale quelconque passant par le sommet C, quand on connaîtra langle (p de cette section avec une des deux sections principales , et les rayons de courbure R et R' de ces dernières courbes.
FiG. i32. 686. Considérons maintenant un hyperboloïde à une nappe, dont l'ellipse de gorge est CAFE qui a pour axes les deux axes réels de la surface ., savoir : OA = rt, OG= c; tandis que l'axe imaginaire est une horizontale 06 = 6 perpendiculaire au plan de l'ellipse que nous regardons ici comme le plan vertical de la figure. Le rayon de courbure de cette ellipse, pour le sommet C, sera
une ligne GG = — =: R; et celui de l'hyperbole BGL contenue dans le plan
des deux axes OG et 0/>, sera GH = — = R', niais il se trouvera dirigé audessus du plan tangent XGY, au lieu d'être au-dessous comme GG. Maintenant, menons par le point G un plan normal quelconque VGZ, qui forme avec le plan principal XGZ un angle désigné par cp; si cet angle est assez petit, la section sera une ellipse GDF qui aura pour axes OG = c, OD = d^ et ce dernier sera évidemment un diamètre de l'hyperbole ADK contenue dans le plan des deux axes horizontaux OA et 06. Or on sait que ce diamètre est lié avec les axes de l'hyperbole, par la relation
— =: — cos^ (û — 1- sin'' ç ; si donc on multiplie tous les termes parc, et qu'on observe que le rayon de
courbure au sommet G de l'ellipse GDF est p = —, on en conclura
^ = ^008=^9 — ^sin^y, (2)
relation qui rentre précisément dans la formule (i), pourvu qu'on y regarde
