CHAPITRE II. — DE LA COURBURE DES SURFACES

oonime négatif, celui des deux rayons principaux R, R', qui se trouvera dirigé au-dessus du plan tangent (*).

687. Gela posé, tant que l'angle <p sera peu différent de zéro, il est certain que le premier terme du second membre de la formule (2), prévaudra sur le terme négatif, et qu'ainsi le rayon de courbure p dejla section normale CDF sera positif, ce qui annonce que cette courbe sera convexe, c'est-à-dire située

au-dessous du plan tangent XCY. D'ailleure - étant évidemment moindre que

-^, et à plus forte raison moindre que —, il en résulte que le rayon variable p

sera plus grand que R, et qu'il augmentera continuellement avec çj, jusqu'à ce que cet angle ait acquis la valeur w déterminée par l'équation

cos* w sin* w

^, doutangw= zby — .

Si donc on trace sur le plan tangent XGY, ou sur le plan horizontal (**) parallèle à celui-là, deux droites O'P, O'Q, qui fassent avec O'X' des angles égaux à w; alors, quand le plan sécant normal arrivera dans la position O'P, il coupera l'hyperboloïde suivant une ligne dont la courbure sera nulle, puisque /3 deviendra infini ; et en effet, on doit voir que cette section sera l'une des deux génératrices rectilignes qui passent par le sommet G, attendu

que d'après les valeurs de R et R', l'expression de m revient à tang « = -.

688. Lorsque l'angle o sera devenu plus grand que w, et que le plan normal FiG. i32. aura pris la position O'W', alors la formule (2) montre que le rayon p aura une valeur négative; desorte que la section correspondante se trouvera concave, c'est-à-dire située au-dessus du plan tangent, et ce sera une hyperbole dont le

(*} Ordinairement, on adopte l'hypothèse contraire , parce que l'analyse fournit une valeur positive pour le rayon de courbure d'une courbe située au-dessus de sa tangente, du moins (juand on compte les ordonnées positives de bas en haut. Mais , comme nous avons dirigé ici l'axe des ^positifs de haut en bas, la convention faite dans le texte s'accorde bien avec l'anah'se; et nous avons préféré cette disposition, parce que les sections normales sont plus commodes à ligurer, quand on les place au-dessous du plan tangent.

(**) Nous employons ici, outre la figure en perspective sur le tableau vertical XCZ , une projection horizontale laite sur un plan perpendiculaire à la normale CZ, afin de faire mieux apercevoir les limites qui séparent les sections convexes des sections concaves.

rayon de courbure p ira en diminuant numériquement, jusqu'à ce que l'on ait

^j (p = 90% d'où p = — R' = GH :

ce dernier résultat se rapporte au plan normal O'Y', qui coupe la surface suivant l'hyperbole principale BGL.

689. En continuant cette discussion depuis cp = 90° jusqu'à (p = 36o° , on retrouverait successivement des résultats analogues, puisque la formule (2) ne renferme que les carrés de sin © et cos cp. D'où l'on doit conclure, i" que les deux plans normaux PO'jo, QO'^jf, partagent la surface autour du point (O', G), en quatre régions distinctes : dans les deux angles PO'Q etpO'q opposés par le sommet , toutes les sections normales sont convexes, ou situées au-dessous du plan tangent XGY ; et dans les deux autres angles PO'^, QO'p , toutes les sections normales sont concaves, ou situées au-dessus de ce plan tangent ; d'ailleurs le passage des unes aux autres se fait par deux sections rectilignes PO'p, QO'q, qui sont les génératrices de l'hyperboloïde situées dans le plan tangent XGY. 2° Le rayon de courbure R de la section principale GAF, est le minimum de tous les rayons positifs, lesquels varient depuis p = R jusqu'à p = 00 ; tandis que le rayon de courbure R' de l'autre section principale BGL, est le minimum des rayons négatifs : ou bien, en tenant compte du signe de ces derniers, on pourra dire que — R' est un maximum, mais seulement par rapport aux rayons négatifs qui varient depuis p = — R' jusqu'à p = — 00 . FiG. i33 690. Les propositions que nous venons de démontrer pour un sommet réel et i34. dun ellipsoïde ou d'un hyperboloïde à une nappe, sont également vraies pour toute surface S, et pour un point quelconque M de cette surface dont la normale est MZ. G'est-à-dire que, parmi toutes les sections normales passant par ce point , il y en a toujours deux, M A etMB, nommées SECTIONS PRINCIPALES, dont la première a un rayon de courbure MG = R qui est MINIMUM , et la seconde un rayon de courbure MH = R ' qui est maximum : ces deux sections principales sont situées dam des plans XMZ , YMZ, perpendiculaires entre eux; et quand une fois on connaît la posi. tion de ces plans et les RAYONS PRINCIPAUX R , R', le rayon de courbure p de toute autre section normale MD passant par le même point, est donné par la formule

j= ^cos>-|-^sin^9, (3)

où (p désigne l'angle du plan de MD avec le plan de MA , et où il faudrait regarder comme négatif, celui des deux rayons principaux, R, R' , qui serait dirigé