CHAPITRE II. — DE LA COURBURE DES SURFACES

au-dessus du plan tangent XMY, si la surface était non convexe, c'est-à-dire traversée par son plan tangent en M.

Ce théorème important, dû kEuler, n'est guère possible à démontrer d'une manière complète et rigoureuse , au moyen de considérations purement synthétiques ; c'est pourquoi nous préférons de l'admettre ici comme un résultat du calcul différentiel (*) ; mais c'est l'unique emprunt que nous ferons à l'analyse, et nous allons ensuite développer par la géométrie seule , les conséquences intéressantes dont ce théorème est susceptible.

691. Lorsque les deux rayons principaux MG = R, MH = R', sont positifs, FiG. i33. comme dans la ^^. i33, la formule (3) montre que p est constamment positif, quel que soit l'angle (j>; donc alors toutes les sections normales se trouvent au-dessous du plan tangent XMY, au moins dans les environs du point M, et la surface est convexe en ce point. D'ailleurs, en supposant R<R', il est facile de

voir que R est alors le minimum absolu de tous les rayons de courbure des sections normales passant par M, et R' le maximum absolu de tous ces mêmes rayons; en effet, la formule (3) écrite tour à tour sous l'une et l'autre des formes suivantes*,

montre qu'on a toujours , quel que soit l'angle 9 ,

p- <à ^^ \> k''^ ^^«'^ /^ >R et p <R'.

Des conséquences semblables auraient lieu, si les deux rayons principaux étaient négatifs à la fois ; seulement alors , la surface se trouverait placée audessus du plan tangent, tout autour du point M.

692. Lorsque, pour un point particulier M d'une surface quelconque, il arrive que les deux rayons principaux R , R', sont égaux et de même signe, la formule (3) se réduit évidemment, et l'angle o disparaît; de sorte qu'on trouve /s = R pour toutes les sections normales passant par ce point, autour duquel la surface présente une courbure uniforme dans tous les sens , comme celle d'une sphère. Ces points particuliers se nomment des ombilics, et nous en ferons remarquer plusieurs de ce genre dans l'ellipsoïde (n° 739); mais il est déjà évi-

(*) \oyezVJnalfse appliquée à la géométrie des trois dimensions, chap. XVI.

dent que , quand la méridienne d'une surface de révolution coupe l'axe sous un angle droit , ce point est toujours un ombilic. FiG. i34- 695. Lorsque les deux rayons principaux sont de signes contraires, comme dans la^^. 1 34 où MG = R qui se rapporte à la section (MA, M'A') se trouve positif, et où MH = R' qui se rapporte à la section (MB, M'B') se trouve négatif, alors la formule ( 3 ) écrite avec le signe de R ' en évidence , devient

^ == ^ cos=^ <p - ^ sin^ o. (4)

Elle montre déjà que p sera tantôt positif, tantôt négatif, suivant la valeur de l'angle cp; c'est-à-dire qu'il y aura des sections normales situées les unes au-dessous, les autres au-dessus du plan tangent XMY ; ainsi la surface sera non convexe, ou à courbures opposées. Pour déterminer les limites de ces diverses sections, cherchons la valeur particulière w de l'angle <p, qui satisferait à l'équaton

= o, d'où tang w = ±: y/- ;

- cos^ w — ^ sm' w

ri IV

puis, traçons sur le plan tangent XMY, ou sur le plan horizontal (*) qui lui est parallèle, deux droites M'P, M'Q,qui fassent chacune avec M'X' un angle égal à w. Alors, pour toutes les valeurs de cp comprises entre cp = — Gjet(p^H-w, comme aussi pour toutes celles qui tomberont entre 9 = 180" — o3et© = iSo^-j-oJ, la formule (4) donnera évidemment des valeurs de p qui seront positives; c'està-dire que toutes les sections normales comprises dans les angles dièdres PM'Q et^M'(/, seront situées au-dessous du plan tangent horizontal XMY. Au contraire, lorsque la valeur de (p tombera entre w et 1 80° — oj , ou bien entre 180" -h w et 36o° — oj, la formule (4) donnera pour p une valeur négative; ce qui prouve que toutes les sections normales comprises dans les deux angles dièdres PM'ç et QM'jo, seront situées au-dessus du plan tangent XMY, au moins dans les environs du point M.

(*) Nous employons encore ici , pour plus de clarté, une perspective sur un plan vertical, et une projection sur un plan horizontal ; si d'ailleurs on veut fixer ses idées par un exemple , on peut regarder la surface qui nous occupe comme étant la gorge d une poulie dont l'axe serait horizontal et projeté suivant (B'L', G). Le point considéré (M, M') est alors sur le cercle de gorge (EMA, E'M'A'), et la section (BML, B'M'L') et un demi-cercle qui sert de méridien au tore de cette poulie. '