CHAPITRE H. —DE LA COURBURE DES SURFACES

(594. Enfin, lorsque 9 recevra une des valeurs 9 = ±: w, ou 9 = 180° ±: m, Fig. i34le rayon p devenant infini dans la formule (4), il s ensuit que les deux plans normaux limites VM'p, QM'9, couperont la surface suivant des courbes qui , sans être rectilignes, comme cela arrivait dans l'hyperboloïde (n** 687), seront du moins très-aplaties dans les environs du point M, et y offriront une courbure nulle ; c'est-à-dire que chacune aura en cet endroit deux éléments communs avec sa tangente qui sera précisément la trace M'P ou M'Q du plan normal limite sur le plan tangent XMY. Ainsi, on peut dire que les deux plans normaux PM'p et QM'q partagent la surface en quatre régions distinctes qui sont tour à tour convexes et concaves.

695. Puisque dans les surfaces non convexes, les rayons de courbure positifs varient, d'après la formule (4), depuis p = 4- R jusqu'à p = -H 00 , et les rayons négatifs depuis p=^ — R' jusqu'à p = — go , il s'ensuit que R sera ici un minimum relativement aux rayons de la première classe , et — R' un maximum analytique pour ceux de la seconde classe , en tenant compte de leurs signes ; mais, si l'on voulait seulement parler de leurs grandeurs absolues, R' serait aussi un minimum.

Quant à la construction graphique des sections principales et de leurs rayons de courbure, nous attendrons, pour en citer des exemples, que nous ayons parlé des lignes de courbure; parce que ces dernières offriront à la géométrie des secours fort utiles (*).

696. Pour chaque point M d'une surface quelconque S, on peut construire une Fig. i35. surface du second degré 2 qui soit osculatrice de S (n° 684) , tout autour de ce point. Supposons d'abord que la surface donnée S soit convexe en M , et que MA et

(*) Pour compléter les notions précédentes, nous ajouterons que si, parla tangente MV (/îg. i33), on faisait une section oblique dont le plan formât un angle 0 avec la section normale 'MD qui passe par la même tangente MV, le rayon de courbure p, de la section oblique aurait avec le rayon p de MD , Ta relation suivante :

p, = p cos 5,

laquelle exprime que p, est la projection de p sur le plan delà section oblique; ou bien, que la sphère décrite avec le rayon p sera coupée, par le plan de la section oblique, suivant un petit cercle qui sera précisément le cercle osculateur de cette section . C'est le théorème dû à Meunier, pour la démonstration duquel nous renverrons à notre Analyse appliquée, chap. XVII; en faisant seulement observer ici que, d'après la formule précédente, les sections obliques faites dans une surface quelconque , seront toujours convexes ou concaves en même temps que la section normale qui passera par la même tangente.

MB représentent ses deux sections principales, ou les sections normales de courbure maximum et minimum, lesquelles ont pour rayons MG = R, MH=R'. Sur la normale MZ, prenons une distance arbitraire MO = c, que nous adopterons pour un des axes d'une ellipse MA' qui, tracée dans le plan de la section MA, devra lui être osculatrice : pour remplir cette condition, il suffit de choisir le second axe OA'=a de telle sorte que le rayon de courbure de l'ellipse au sommet M , soit égal à R , ce qui donne la relation

— = R , d'où a = \/R

ainsi le demi-axe OA'=:a se déterminera en cherchant une moyenne proportionnelle entre R etc. De même, dans le plan delà section MB, construisons une ellipse MB' qui lui soit osculatrice, et qui ait pour ses demi- axes OM = c et OB' = /> ; ce dernier se déterminera encore par la relation

-=R', d'où6=s/R^.

Gela posé , les deux ellipses MA' et MB' déterminent complètement un ellipsoïde 2 qui aura pour ses trois demi-axes , OM, OA', OB', attendu que le plan de la courbe MB est perpendiculaire sur celui de MA; et je dis que cet ellipsoïde sera osculateur de la surface S , ce qui se réduit à prouver (n° 684) que tout plan normal MOD coupe S et 2 suivant deux courbes MD et MD' qui ont le même rayon de courbure. Or, en appelant p et jo' les rayons de ces deux sections, ils seront donnés ( n°^ 690 et 685) par les

formules

-, sm^ <p , -, = -, cos^ (p -h ^ sin^ <p ,

lesquelles prouvent que p = p', d'après les valeurs précédentes de a et b.

697. On doit observer que l'ellipsoïde 2 osculateur de S pour le point M , n'est pas unique , puisque la longueur de l'axe c a été choisie arbitrairement ; ainsi en prenant c = a = R , ou c = 6 = R', on le rendrait de révolution , mais non pas autour de la normale MZ, D'ailleurs, nous aurions pu employer deux hyperboles, ou deux paraboles, pour courbes osculatrices des sections principales MA et MB, et la surface osculatrice de S serait devenue un hyperboloïde à deux nappes , ou un parabploïde elliptique , qui sont tous les deux des surfaces convexes. ,w •«.,./-