CHAPITRE II. — DE LA COURBURE DES SURFACES

698. Soit maintenant une surface S non convexe, dont les sections prin- FiG. i3C. cipales MA et MB ont des rayons de courbure de sens opposé , MG = R ,

MH = R'. Construisons, comme ci-dessus, une ellipse MA' qui soit osculatrice de MA au point M , et dont les demi-axes soient MO =: c longueur arbitraire prise sur la normale , et OA' = a ligne déterminée par la relation a = \/ Rc, mais , pour courbe osculatrice de la section MB , nous ne pouvons plus adopter une ellipse , car il n'existe pas de surface du second degré qui admette deux sections de ce genre , situées lune au-dessous et l'autre au-dessus du plan tangent. Nous construirons donc une byperbole B'ML', qui ait pour demi-axe réel la ligne MO = c, et pour demi-axe imaginaire une droite OB" = b perpendiculaire au plan de l'ellipse , et telle que le rayon de courbure de cette hyperbole ( n° 200 ) vérifie la relation

^ = R', d'où 6 =slWc.

Alors, l'ellipse MA' et l'hyperbole MB' détermineront complètement un hyperboloïde à une nappe 2, lequel sera bien osculateur de S au point M (n° 684); car tout plan normal qui fera un angle 9 avec MA, coupera S et 2 suivant deux courbes dont les rayons de courbure p et p' seraient donnés (n°* 695 et 686) par les formules

i = ^ cos^' 9 Lsin^ç, i = '- cos» ç - ^, sin^ 9,

lesquelles prouvent que p = p', d'après les valeurs précédentes de a et 6. Nous aurions eu encore un hyperboloïde osculateur de S , mais tourné en sens contraire , si nous avions mis l'ellipse à la place de l'hyperbole , et réciproquement ; d'ailleurs , on ne doit pas oublier que l'axe c dirigé suivant la normale MG ou MH , peut recevoir une longueur arbitraire. Enfin , si l'on avait adopté deux paraboles pour courbes osculatrices des sections MA et MB , on aurait obtenu , pour surface osculatrice de S , un paraboloïde hyperbolique.

699. LIGNES DE COURBURE d'une surface quelconque. Monge a nommé FiG. i35. ainsi la suite des points pour lesquels les normales de la surface S vont se rencontrer consécutivement, et nous allons démontrer qu'à partir de chaque

point M donné sur S, il n'existe en général que deux lignes de courbure MaU,

MêV, lesquelles se coupent à angle droit et sont tangentes aux sections principales MA, MB (n° 690), dont elles diffèrent néanmoins, puisque ordinairement elles ne sont point planes, comme ces dernières. Commençons par étudier ces lignes de courbure au sommet d'une surface du second degré.

Fi G. i3i. 700. Soient G A et CB les deux sections principales qui se coupent au sommet G d'un ellipsoïde , pour lequel la normale de la surface est GO ; en menant un plan parallèle au plan tangent XGY, et à une distance Gw infiniment petite , il donnera une section elliptique aês dont les sommets a et ê seront placés sur GA et GB ; et si l'on prend sur cette courbe un point quelconque N différent de a et ê , je dis que la normale NK de l'ellipsoïde ne rencontrera pas la normale GO relative au sommet. En effet , cette dernière est projetée au centre co de la petite ellipse, tandis que NK qui doit être perpendiculaire à la tangente NT, se projettera sur le plan de cette même eUipse, suivant une droite NK' encore perpendiculaire à NT : or on sait qu'une normale NK' de l'ellipse aês , ne va point passer par le centre co ; donc la normale NK de la surface ne rencontrera jamais Gw , quelque près de G que soit pris le point N ; à moins qu'on ne le choisisse en a ou S , sur une des deux sections principales G A ou GB, parce qu'alors la normale de l'ellipsoïde serait projetée suivant l'un des axes a« ou êw , lesquels vont passer par le centre w.

Il résulte de là que, pour le sommet G d'un ellipsoïde, il n'y a que deux lignes de courbure qui sont dirigées d'abord suivant les éléments Ga et Gê des deux sections principales. D'ailleurs , pour ce point particulier, les deux lignes de courbure coïncideront totalement avec les sections GAF et GBF; parce que les normales de l'ellipsoïde menées par tous les points de la courbe GA , sont situées dans le plan de cette courbe , attendu que les tangentes des sections horizontales, pour les sommets a. A,.... se trouvent toutes perpendiculaires au plan de l'ellipse GAF. Les mêmes motifs s'appliquent à la section GBF.

FiG. i32 701. Dans Fhyperboloïde à une nappe de lafig. i32, on verra aisément qu'une section parallèle au plan tangent XGY , et placée au-dessous à une distance infiniment petite, fournirait une hyperbole dont les deux sommets réels a et £ seraient sur AGE; tandis que si cette section était au-dessus de XGY, ce serait une hyperbole renversée dont les sommets réels ê et X se trouveraient sur BGL. Or, comme la normale de la surface se projetterait encore sur la normale de l'une ou de l'autre de ces hyperboles , et que cette dernière droite ne va passer par le centre qu'autant que le point de contact coïncide avec l'un des sommets, on en conclura, comme ci-dessus, que la normale OGH de l'hyperbo-