CHAPITRE II. — DE LA COURBURE DES SURFACES

loïde en G, ne peut être rencontrée par une normale infiniment voisine que quand cette dernière part d'un point de la section principale GA ou GB. Il est donc démontré qu'au sommet G de l'hyperboloïde , il n'y a encore que deux lignes de courbure, lesquelles coïncident entièrement avec AGE et BGL , par les mêmes raisons que dans l'ellipsoïde.

702. Revenons maintenant à une surface générale S que nous supposerons FiG. i35. d'abord convexe, autour du point quelconque M que l'on considère. 11 existe toujours (n" 696) un ellipsoïde 1 qui est osculateur de S en M; et si l'on coupe ces deux surfaces par un plan parallèle au plan tangent, et infiniment voisin, non-seulement tous les points de la section «Ne ainsi obtenue seront communs à S et à 2 , mais encore les normales de ces deux surfaces , pour chacun des points a, N, ê,..., seront les mêmes. En effet, on a vu que deux sections MD, MD', contenues dans un même plan normal quelconque, étaient osculatrices ; c'est-à-dire qu'elles avaient deux tangentes consécutives communes, l'une en M, l'autre en N : donc cette dernière tangente jointe avec la tangente NT de la courbe aNS, déterminera un plan qui touchera en même temps S et 2 au point N, et par suite, la perpendiculaire à ce plan sera une normale commune aux surfaces S et 2. Gela posé, il a été prouvé (n° 700) que sur l'ellipsoïde 2 , la normale MO du sommet ne peut être rencontrée par une normale infiniment voisine qu'autant que celle-ci part du point a situé sur MA', ou du point ê situé sur MB'; donc aussi, sur la surface S , il n'y a que les deux normales aG et êH qui aillent couper la normale MO; et par conséquent il n'existe, à partir du point M, que deux lignes de courbure dont les premiers éléments Ma et Mê sont communs aux sections principales MA et MB. Maintenant si, à partir de a, on voulait trouver un point infiniment voisin a' dont la normale allât couper la précédente aG, il faudrait choisir ce nouveau point sur une des deux sections principales relatives à a : or, en général, aucune de ces deux dernières ne serait dans le plan de MA; par conséquent la première ligne de courbure Maa'U sera gauche ordinairement, et elle se trouvera seulement tangente à la section principale MaA. Une conséquence analogue a lieu pour la seconde ligne de courbure MêV qui touchera la section principale MêB, mais différera ordinairement de celleci dans le reste de son cours; et d'ailleurs, ces deux lignes de courbure MU et MV se couperont à angle droit en M, comme les deux sections principales auxquelles elles sont tangentes.

705. En outre, les portions MG et MH de la normale primitive MO, dé- Fig. i35 terminées par sa rencontre avec les deux normales voisines , et que Monge a nommées les rajons de courbure de la surface au point M, ne sont autre chose

34o LIVRE VIII. — COURBURE DES LIGNES ET DES SURFACES.

que les deux rayons principaux définis au n° 690. En effet, les droites MG et aG étant normales à la surface S , le sont nécessairement à la courbe MA ; et comme elles sont d'ailleurs dans son plan , leur rencontre G est bien le centre du cercle osculateur (n° 650) de la section MA : de même, H est le centre de courbure de la section MB; mais la dénomination adoptée par Monge, tient à une propriété qu il importe de faire ressortir.

Si du point G comme centre , avec une des normales GM , Ga , qui sont égales ( n" 650 ) , on décrit une sphère , elle touchera la surface S en deux points consécutifs M et a, puisque deux de ses rayons sont normaux à S; et il en arrivera autant pour la sphère décrite du point H, avec le rayon HM=:Hê. Tandis que si, avec le rayon de courbure MI =:NI d'une autre section normale MND , on décrivait une sphère , elle toucherait la surface S seulement en M , et non en N ; car le rayon NI ne serait pas normal à la surface S , puisque nous venons de prouver que la véritable normale NK ne peut aller couper MO. Ainsi, les portions MG et MH de la normale en M, sont les rayons de deux sphères qui seules peuvent avoir deux plans tangents consécutifs communs avec S, et dont la courbure exprime le maximum et le minimum de courbure que présentent les diverses sections normales autour du point M. Toutefois, il ne faut pas dire que ces, deux sphères sont osculatrices de S; parce que le double contact qu'elles ont chacune avec cette surface, n'a lieu que dans une direction , et non tout autour du point M , comme l'exigerait le véritable caractère de l'osculation (p° 684).

704. Il faut aussi se garder de croire que MG soit le rayon de courbure delà ligne Mali , c'est-à-dire le rayon du cercle qui aurait avec cette ligne deux éléments communs. En effet, il est bien vrai que les deux droites MG et aG, étant normales à la surface, sont aussi telles par rapport à la courbe MaU : mais, pour que leur rencontre G donnât le centre de courbure de MaU, il faudrait que ces normales fussent situées toutes deux dans le plan osculateur de cette courbe (n" 650); ce qui n'arrivera que dans le cas particulier où MU coïncidera avec MA , ou du moins lorsque MU et MA auront un contact du second ordre. FiG. i36. 705. Pour une surface non convexe, on démontrera d'une manière toute semblable l'existence et les propriétés des deux lignes de courbure relatives à un point quelconque M, en construisant (n° 698) l'hyperboloïde osculateur de cette surface en M, et y appliquant ce que nous avons prouvé pour la rencontre des normales au sommet d'un hyperboloïde (n° 701). Seulement ici, les deux centres de courbure G et H seront placés l'un au-dessous, l'autre au-dessus du plan tangent; mais toutes les relations précédentes seront également vraies.