CHAPITRE II. — DE LA COURBURE DES SURFACES

706. Lorsque le point M considéré sur une surface quelconque , sera un ombilic (n" 692) , le nombre des lignes de courbure deviendra indéfini , comme celui des sections principales auxquelles elles doivent être tangentes ; mais cette circonstance particulière ne se présentera jamais dans les surfaces non convexes, puisque quand même les rayons principaux seraient égaux en grandeur absolue, ils ne seraient pas identiques quant à la position.

707. Après avoir ainsi démontré généralement l'existence de deux lignes de courbure pour chaque point d'une surface quelconque, il est bon de citer divers exemples où la détermination de ces lignes s'effectue immédiatement.

Dans une surface de révolution décrite par un méridien quelconque AME , pjQ j 3q ce méridien est lui-même une première ligne de courbure pour chacun de ses et i /\o. points , tel que M ; car les normales de la surface MG, aG , a' G',.... se trouvant contenues toutes dans le plan méridien (n** 150), iront se couper consécutivement sur la développée GG'G" .... de la courbe MA. La seconde ligne de courbure passant par le point M est évidemment le parallèle MêV, puisque toutes les normales de la surface qui partent des points M, ê, V, .... vont aboutir (n° 130) au même point H de l'axe. Ajoutons qu'ici les deux rayons de courbure de la surface sont le rayon de courbure MG du méridien , et la portion MH de la normale comprise entre le point considéré M et l'axe de révolution.

708. Quant aux deux sections principales de la surface (n** 690), relatives au point quelconque M , la première est encore le méridien MA ; car le plan de cette section doit contenir la normale MG de la surface , et l'élément Ma de la ligne de courbure qui lui est tangente (n°702); et cette coïncidence entière entre la section principale et la ligne de courbure , se reproduira évidemment toutes les fois que cette dernière sera plane et que son plan renfermera la normale de la surface. La seconde section principale pour le point M, ne coïncide plus avec l'autre ligne de courbure MêV, parce que celle-ci, quoique plane, ne renferme pas la normale MH ; mais on obtiendra aisément cette seconde section principale MêB, en conduisant suivant MHG un plan sécant perpendiculaire au plan de la première section MA, et la courbe MêB aura un élément Mê commun avec le parcdlèle MêV. D'ailleurs, les deux rayons de courbure des sections normales MA et MB, seront (n» 703) les rayons de courbure MG et MH de la surface.

709. Dans un cylindre à base quelconque , la génératrice rectiligne qui passe par le point considéré , sera évidemment une première ligne de courbure ; car, le plan tangent étant commun tout le long de cette génératrice, les diverses normales seront parallèles entre elles , et contenues dès lors dans un même plan, quoiqu'elles n'aillent ici se rencontrer qu'à l'infini. Cette génératrice sera en

même temps une première section principale, parla raison générale citée au numéro précédent ; et la courbure de la surface sera nulle dans le sens de la génératrice , puisque le rayon de courbure fourni par la rencontre de deux normales voisines, se trouvera infini. Ensuite, si parle point considéré, on mène un plan perpendiculaire à la génératrice , la section orthogonale ainsi produite sera la seconde ligne de courbure, puisque les normales du cylindre relatives aux divers points de cette courbe, se trouveront évidemment dans son plan, et iront se couper sur la développée de cette section orthogonale dont le rayon de courbure devient ainsi le rayon minimum de la surface; c'est-à-dire que la courbure maximum du cylindre a lieu dans le sens de la section orthogonale, laquelle esr aussi évidemment (n" 708) la seconde section principale.

710. On verra de même que, dans un cône à base quelconque, chaque génératrice rectiligne est à la fois une ligne de courbure et une section principale , dans le sens de laquelle la surface offre une courbure nulle : puis, comme toutes ces génératrices doivent être coupées à angles droits par les lignes de la seconde courbure, ces dernières seront les intersections du cône avec des sphères dont le centre commun sera placé au sommet. Quant à la seconde section principale relative à un point donné sur une génératrice, on l'obtiendra en menant par la normale du cône en ce point, un plan sécant perpendiculaire à la génératrice.

711. S'il s'agit d'une surface développable quelconque, la génératrice rectiligne sera encore à la fois une ligne de courbure et une section principale dont le rayon de courbure se trouvera infini, attendu que le plan tangent de la surface est commun tout le long de cette génératrice. La seconde section principale pour un point donné M, s'obtiendra en menant par la normale en ce point, un plan sécant perpendiculaire à la génératrice qui y passe ; et la seconde ligne de courbure qui doit couper à angles droits toutes les génératrices, sera une développante de l'arête de rebroussement de la surface. Ainsi, dans l'hélicoïde développable de la^^. 96, les génératrices rectihgnes sont les lignes de première courbure, et les lignes de seconde courbure sont les sections horizontales, telles que ABGDLMPQ...; car cette spirale coupe à angles droits toutes les génératrices, et elle est bien une développante (n° 661) de l'hélice (Aêyc^...., A'g'7'c?'....).

FiG. 143, 712. Lorsque la surface proposée S sera gauche , la génératrice GMP ne sera plus une ligne de courbure, puisque les normales le long de cette droite, loin de se rencontrer, forment un paraboloïde hyperbolique (n° 595) ; mais GMP se trouvant dans le plan tangent en M, sera précisément la section d'un des deux