CHAPITRE II. — DE LA COURBURE DES SURFACES.

tical. Les asymptotes de cette indicatrice seraient alors faciles à construire; mais comme il faudrait ensuite les projeter sur le plan tangent M'T'T, cela revient évidemment à prendre M'a' = wa, puis à élever du point &' une perpendiculaire au plan vertical qui ait pour longueur M'ê; et l'hypoténuse du triangle rectangle ainsi formé, sera la projection de l'asymptote sur le plan tangent, et ce sera aussi (n° 751) la tangente même de la section que forme ce plan dans le tore. Enfin, pour obtenir cette tangente sur le plan horizontal, il faudra projeter le côté M'a' de ce triangle suivant Me?, puis élever une perpendiculaire âX = M'ê, et la droite XM sera la tangente de la branche Mfire. La tangente X"M de l'autre branche MHRE s'obtiendrait par le moyen de la seconde asymptote, mais cela se réduit à prendre âl" = âl-, ainsi, quant à la méthode pratique, on voit que la construction de ces deux tangentes n'exigera qu'un très-petit nombre d'opérations fort simples.

755. Après avoir déterminé par les méthodes précédentes, les tangentes ou les premiers éléments des deux lignes de courbure relatives à un point quelconque M assigné sur une surface générale S, il faudrait, pour obtenir le cours entier de ces lignes , répéter des opérations semblables sur un point M2 trèsvoisin de M, et choisi sur l'une des deux tangentes déjà trouvées; puis, agir de même pour un point M3 voisin de Mj, et placé sur l'une des deux directions que comportent les lignes de courbure relatives à ce dernier point; et ainsi de proche en proche. Mais la complication et les incertitudes d'une pareille marche, font assez voir que la détermination complète des lignes de courbure est un 'problème qui est généralement insoluble par des opérations purement graphiques; c'est donc à l'Analyse qu'il faudra recourir pour se procurer des données certaines sur cette matière, quand la surface ne tombera pas dans un des genres examinés aux n"' 707.. .71 1 ; et nous allons exposer les beaux résultats auxquels Monge est parvenu dans l'exemple d'un ellipsoïde à trois axes inégaux (*).

756. Soient a, 6, c les trois demi-axes de l'ellipsoïde donné, entre lesquels FiG. i44nous supposerons les relations a > /> > c. Adoptons pour plan horizontal de projection, un plan parallèle aux deux axes les plus grands, et choisissons le

plan vertical parallèle à Taxe maximum et à l'axe minimum; alors, si (O, O') est le centre de la surface, et que l'on décrive sur les demi-axes OA = a, OB = 6, une ellipse (ABDE, A'D'), ce sera le contour apparent de l'ellip-

(*) Voyez le chap. XVI de notre Analyse appliquée à la géométrie des trois dimensions.

soïde sur le plan horizontal ; tandis que le contour apparent relatif au plan vertical, sera Fellipse (A'C'D'F', AD) décrite avec les demi-axes O'A' = a, O'C = c. La troisième ellipse principale qui a pour demi-axes 6 et c, se trouve projetée sur BE et G'F'; et nous l'avons rabattue ici suivant EQ". Quant aux excentricités de ces trois ellipses, on les trouvera graphiquement par les relations connues

ainsi il deviendra facile de construire, par le secours de quatrièmes proportionnelles , les deux distances

sur lesquelles, comme demi-axes, on décrira une ellipse auxiliaire a£§, puis une hyperbole auxiliaire ccây. Ensuite, on portera sur les axes de la projection verticale , deux distances

avec lesquelles, comme demi-axes, on décrira une nouvelle ellipse auxiliaire X'>Z' qui se trouvera toujours en dehors de rellipsoïde, puisque ses deux axes sont évidemment plus grands que a etc.

757. Gela posé, l'analyse apprend que les lignes de courbure de la première espèce sont projetées horizontalement suivant des hyperboles TU, LS, KR,...., et verticalement suivant des ellipses T'U', L'S', K'R',...., qui se construisent avec les données précédentes, comme il suit. Après avoir choisi sur OA un point T arbitraire, mais situé entre O et a, on trace les deux coordonnées Ts et eQ de l'ellipse auxiliaire aê ; puis, avec l'abscisse OT comme axe réel , et avec l'ordonnée OQ comme axe imaginaire, on décrit une hyperbole TU. Ensuite, on projette le point U où cette hyperbole va couper le contour apparent ABD , en U' à partir duquel on trace les deux coordonnées U't: et nÇ de l'ellipse auxiliaire X'Z'; puis, avec l'abscisse O'U' et l'ordonnée O'Ç comme demi-axes, on décrit une ellipse ÇT'U' qui est la projection verticale de la ligne de courbure déjà projetée horizontalement suivant TU. On sent bien que cette ligne de courbure est gauche, mais fermée, et qu'elle offre des parties symétriques au-dessus et au-dessous, en avant et en arrière des plans prin-