CHAPITRE II. — DE LA COURBURE DES SURFACES

cipaux de l'ellipsoïde, ce qui fait que ses deux projections n'occupent qu'une portion limitée d'hyperbole ou d'ellipse.

758. Quant aux lignes de courbure de la seconde espèce , elles se pro- Fig. i 44jettent horizontalement et verticalement sur des elUpses (9MV, ç)'M'V'),

(yjNl 75' NT), qui se construisent de la manière suivante. Après avoir

pris un point arbitraire V entre a et A , on trace les deux coordonnées Yâ' et (î^tj^ de l'hyperbole auxiliaire ay; puis , sur les droites OV et 0;J^ comme demi-axes , on décrit une ellipse ^Yf. Ensuite , on projette le sommet © ou di de cette courbe, sur l'ellipse principale rabattue suivant EG", et l'on relève le point <p" en ip' sur le plan vertical ; alors , en traçant les deux coordonnées (p'p, et |ut,W' de l'ellipse auxiliaire X'Z', on obtient les deux demiaxes O'W' et O'ç»' de l'ellipse cherchée ip' V'W^, dont une partie seulement reçoit la projection verticale de la ligne de courbure qui est aussi fermée et gauche.

759. Étudions maintenant les variations de forme que subissent les lignes de courbure des deux espèces , lorsque les points T et V s'éloignent ou se rapprochent de a. Quand le point T est en O , et le point V en A , la projection de la première ligne de courbure se réduit évidemment à la droite BOE et la seconde devient l'ellipse ABD , ce qui montre que les deux ellipses principales EG" et ABDE sont elles-mêmes des lignes de courbure; en effet, les normales de rellipsoïde menées par tous les points de l'une ou de l'autre de ces courbes , sont situées dans leur plan , et ne peuvent manquer de se coupëf consécutivement. Lorsque les points T et V se rapprochent de a, l'hyperbole TU et leilipse VM(p se resserrent de plus en plus , et quand ces points sont arrivés en a , la seconde se réduit évidemment à la portion def droite aw , tandis que la première est remplacée par les portions rectilignes aA et wD ; de sorte qu'ici les deux lignes de courbure viennent à coïncider , et leur ensemble fournit l'ellipse principale ( AD , A' G' D' ). On voit donc que le point a et son homologue w déterminent , sur l'ellipsoïde , quatre points singuliers ( a , a ' ) , ( a , a" ) , ( w , u' ) , ( w , oi" ) , pour lesquels les lignes de courbure des deux espèces viennent se confondre , comme le montre aussi la projection verticale où les ellipses ÇT'U' et ^'V W s'ouvrent de plus en plus , l'une dans le sens horizontal , l'autre dans le sens vertical; ou plutôt, dans ces quatre points, la direction des lignes de courbure devient indéterminée, comme le prouve l'analyse, et la courbure de la surface est uniforme autour de chacun d'eux ; de sorte que ce sont quatre ombilics, tels que nous les avons définis au n^ 692.

740. L'analyse prouve encore que , sur le plan vertical , toutes les ellipses des deux séries se trouvent inscrites dans le losange X'Z'X"Z", qui touche l'ellipse principale A'G'D'F' précisément aux quatre ombilics; et pour montrer une application de cette belle théorie, nous allons citer ce que Moncje a écrit sur ce sujet.

741. « S'il était question de voûter un espace circonscrit en projection horizontale par une ellipse , on ne pourrait pas donner à la voûte une surface plus convenable que celle de la moitié d'un ellipsoïde dont une des ellipses principales coïnciderait avec l'ellipse de la naissance; et en supposant que cette voûte dût être exécutée en pierres de taille , il faudrait que la division en voussoirs fût opérée au moyen des lignes de courbure dont nous avons donné la construction , et que les joints fussent les surfaces développables normales à la voûte. Les lignes de division en voussoirs , traceraient sur la surface des compartiments rectangulaires susceptibles de décoration ; et ces compartiments eux - mêmes n'auraient rien de fantastique , puisqu'ils ne seraient qu'une suite nécessaire de la première donnée , qui est une ellipse; mais la destination de cet emplacement pourrait influer sur le choix de celui des trois axes qu'il faudrait placer verticalement.

» Il n'y aurait aucune raison pour faire l'axe vertical égal à l'un des deux axes horizontaux ; ainsi les trois axes seraient inégaux. Dans cette hypothèse , l'axe vertical pourrait être plus grand que les deux autres , et alors la voûte serait surmontée; il pourrait être plus petit, et la voûte serait surbaissée ; enfin , il pourrait être compris entre les deux autres , et la voûte serait moyenne. La voûte surmontée aurait en général plus de hardiesse et plus de dignité ; et si la naissance était elle-même à une grande hauteur, quelle que fût d'ailleurs la destination de l'emplacement, ce serait la voûte surmontée qu'il faudrait employer , parce que sa grande élévation faisant paraître ses dimensions verticales plus petites qu'elles ne seraient réellement, écraserait trop une voûte d'une autre espèce. La voûte surbaissée , en diminuant le volume d'air compris dans l'emplacement , serait plus favorable à la voix d'un orateur. Si l'emplacement devait être éclairé par deux lustres suspendus à la voûte , il faudrait que cette voûte fût ou surmontée ou surbaissée , parce que , dans ces deux cas , sa surface aurait deux ombilics, placés symétriquement au-dessus du grand axe de l'ellipse horizontale, et que ces ombilics , rendus très-apparents par les compartiments qui se distribueraient autour d'eux, seraient les points naturels de suspension : alors,