CHAPITRE I. — THÉORÈMES DIVERS

l'énoncé, d'après le choix du plan de projection employé ici, et attendu que le diamètre A'B' est évidemment égal au diamètre AB.

Observons que si le cylindre pénétrait dans la sphère par un grand cercle tel que a06, la courbe de sortie serait l'autre grand cercle a'Ob'; et pour construire plus aisément cette dernière courbe qui se rencontrera dans l'épure des Ombres dune niche, il suffira d'employer un plan de projection qui soit parallèle aux rayons de lumière et perpendiculaire à la courbe d'entrée , puisque sur un tel plan, la courbe de sortie se projettera suivant une droite.

746. Dans l intersection d'un cône avec une sphère, si la courbe d'entrée est PLANE, la courbe de sortie l'est pareillement.

Adoptons pour le plan de la figure celui qui, passant par le centre de la FiG. iA6. sphère et le sommet du cône, se trouve en même temps perpendiculaire à la courbe d'entrée, et désignons-le sous le nom de plan horizontal. La courbe d'entrée qui est nécessairement un cercle , sera projetée suivant une corde AB de la sphère, et si S est le sommet situé dans notre plan horizontal, les deux arêtes SA, SB, iront évidemment sortir de la sphère par les points a, b; mais, en outre, je dis que la droite ab est la projection totale de la courbe de sortie. En effet, si par le point de la surface conique qui est projeté en m, on mène un plan vertical A';??B' parallèle à AB, il coupera le cône suivant un cercle du diamètre A'B', que nous rabattrons ici suivant A'm'B'; et l'ordonnée m'm du cône étant moyenne proportionnelle entre les deux parties de ce diamètre, nous aurons

mm' = A'm . mB'.

Mais les deux triangles mA'a et mB'b sont semblables, puisque l'angle A' égale l'angle SAB qui a pour mesure le même arc que l'angle abB ; donc ces triangles donneront l'égalité suivante,

A'm . mB' = am . mb , d'où mm' = am . mb.

Cette dernière relation prouve que l'ordonnée rabattue suivant mm', appartient aussi au cercle vertical décrit sur ab comme diamètre; et puisque ce nouveau cercle est évidemment sur la sphère proposée, nous en conclurons que le sommet de l'ordonnée mm', ou le point du cône qui est projeté en m, se trouve en même temps sur la sphère. Comme on en dirait autant de tout autre point du cône projeté en n sur ab, il est certain que le plan vertical ab coupe le cône et la sphère suivant un cercle unique, lequel est la seconde

branche de leur intersection ou la courbe de sortie; ce qui démontre le théorème annoncé.

747. Observons que le cercle vertical ab est précisément ce qu'on appelle la section anti-parallèle du cône SAB à base circulaire; car la première condition que doit remplir cette section, c'est d'être perpendiculaire au plan principal du cône, c'est-à-dire à celui qui, passant par le sommet S et le centre G de la base circulaire AB , se trouve en outre perpendiculaire à cette base; or ce plan coïncide évidemment avec celui de notre épure, lequel contient les points S, O, et le rayon OC. Ensuite, la section anti-parallèle doit former, sur le plan principal, un triangle Sa6 semblable et non parallèle à SAB; condition qui est encore remplie, puisque nous venons d'observer que les angles SAB et S6a avaient la même mesure.

748. Lorsque deux cylindres du second degré se coupent suivant une première courbe plane, la courbe de sortie est aussi plane.

FiG, 147. Supposons que l'ellipse EMMTN'N soit la courbe d'entrée, commune aux deux cylindres (les mêmes raisonnements seront applicables à une hyperbole ou à une parabole); alors, en menant divers plans qui soient parallèles aux génératrices des deux cylindres à la fois, ils traceront dans l'ellipse des cordes MN, M'N',..., parallèles entre elles, et chacun de ces plans coupera d'ailleurs les deux cylindres suivant quatre droites. Celles qui répondront au plan sécant MN, savoir MA et NB, Ma et N6, formeront par leurs intersections, un parallélogramme MnNm dont les deux sommets m et n appartiendront évidemment à la courbe de sortie ; de même , cette courbe passera par les points m' etn' où se coupent les quatre arêtes M'A' et N'B', M'a' et N'/>', contenues dans le plan sécant M'N'; et ainsi des autres. Or toutes les diagonales mn, m'n',..., sont évidemment parallèles; elles passeront d'ailleurs par les milieux des cordes MN, M'N',..,, et par suite, elles rencontreront toutes le diamètre EF conjugué avec ces cordes. Donc ces diagonales formeront, en s'appuyant sur la droite EF, une surface nécessairement plane qui contiendra toute la courbe de sortie mm'Fn'n; ainsi, cette dernière satisfait bien à l'énoncé du théorème.

749. On voit d'ailleurs que la courbe mm' Fn'n sera de même espèce que la courbe d'entrée; car, pour des abscisses communes OP, OP',..., les ordonnées MP et mP, M'P' et m'P',.... seront évidemment proportionnelles; de sorte que les deux branches de l'intersection seront ici deux ellipses ayant un diamètre commun EF. Il est clair aussi qu'aux extrémités de ce diamètre, les tangentes ET et EV des deux courbes, ainsi que les arêtes des deux cyhndres, se trou-