CHAPITRE I. — THÉORÈMES DIVERS

veront toutes parallèles aux plans sécants employés ci-dessus; par conséquent, les cylindres proposés auront deux plans tangents communs et parallèles.

750. Lorsque deux surfaces du second degré ont un axe commun , en grandeur et en position, elles ne peuvent se couper que suivant DEUX COURBES PLANES, qui passent l'une et l'autre par l'axe commun.

D'après l'hypothèse admise, les deux surfaces auront le même centre, et en faisant passer par ce point notre plan horizontal de projection, que nous choisirons d'ailleurs perpendiculaire à l'axe commun (O, O'C), il coupera les Fig. i/i8. deux surfaces données suivant deux courbes du second degré et concentriques ABDE et abde. Or, si ces deVnières se rencontrent en deux points G et H, il y en aura nécessairement deux autres I et K, diamétralement opposés aux premiers, et qui seront encore communs aux deux courbes. Alors le plan vertical GI coupera les surfaces proposées suivant deux courbes qui coïncideront complètement, puisqu'elles auront les mêmes demi-axes OG et O'C'; donc cette section commune sera une des branches de l'intersection totale des deux surfaces, et l'autre branche sera la section aussi commune, faite par le plan vertical HK.

Ces raisonnements sont applicables à toutes les surfaces du second degré qui ont un centre, qu'elles soient ou non de même espèce, pourvu que l'axe commun soit en même temps réel ou imaginaire dans les deux surfaces à la fois.

751. Si la première n'avait pas de centre, son axe unique serait infini; et par conséquent la seconde devrait, pour satisfaire à l'énoncé du théorème, être aussi un paraboloide ayant le même sommet. Alors on couperait ces deux paraboloides par un plan perpendiculaire à l'axe commun, et ces deux sections qui auraient évidemment le même centre, se rencontreraient en quatre points diamétralement opposés, tels que G et I, H et R dans la figure précédente; d'où l'on conclurait que le plan conduit par la droite GI ou HK , et par l'axe commun , coupe les paraboloides suivant deux paraboles qui ayant même axe, même sommet, et un point commun G ou H, se confondront nécessairement.

752. On peut généraliser le théorème du n° 750, en l'appliquant à deux surfaces du second degré qui ont deux plans tangents communs et parallèles. En effet, la droite qui joindra les points de contact de ces plans, sera un diamètre commun aux deux surfaces; le plan diamétral conjugué avec ce diamètre, devant être parallèle aux plans tangents donnés, se trouvera le même pour la première et la seconde surface, et il coupera celles-ci suivant deux

courbes concentriques, telles que ABDE et abde; de sorte que le plan mené par GI ou HK, et par le diamètre commun, produira dans les surfaces proposées deux sections qui devront encore coïncider, attendu qu'elles auront deux diamètres conjugués communs en direction et en longueur; donc ces surfaces se couperont suivant deux courbes planes.

FiG. 1 49. 755. Un cas particulier de ce théorème se présente dans la rencontre de deux berceaux cylindriques qui ont le même plan de naissance et la même montée. En effet, si le cercle AMNB et l'ellipse amnb dont les axes verticaux sont égaux , représentent les bases de ces cylindres qui sont ici rabattues autour des axes AB et ab situés dans le plan horizontal de la naissance, on voit d'abord que les quatre génératrices AG, BH, aG, 6K, se rencontrent en formant le rectangle GHIK. Ensuite, si l'on coupe les deux cylindres par un même plan horizontal, on obtiendra quatre arêtes partant des points M, N, m, n, et qui se rencontreront nécessairement en des points dont les projections \ M', N', M", N", tomberont précisément sur les diagonales du rectangle GHIK ;

car, les deux ordonnées /)m et PM étant égales, on sait que les abscisses ap et AP sont entre elles comme les deux axes ab et AB, ce qui donne la proportion

Ga:aM'::GK:KI;

d'où l'on conclut que le point M' est en ligne droite avec G et I. On prouvera semblablement que N" tombe sur la même diagonale, tandis que N' et M" sont sur la droite HK; ainsi, l'intersection totale des cylindres proposés se composera des deux ellipses situées dans les plans verticaux GI et HK.

754. Remarque. Lorsque deux surfaces quelconques S et S' se touchent en un point, et qu'en outre elles se coupent suivant une courbe à deux branches qui passent par le point considéré, il n'est plus possible de trouver les tangentes de ces branches au point multiple, par la méthode des plans tangents, puisque ceux-ci coïncident. Mais, si l'on substitue aux surfaces S et S', deux surfaces du second degré 1 et 1' qui soient osculatrices des premières, il est évident que l'intersection de 2 avec 1' aura les mêmes tangentes que lintersection de S avec S'. Or, comme dans chaque surface 1 ou 2', il y a un axe c ou c' qui est arbitraire en longueur (n^'ôOO), quoique toujours dirigé suivant la normale au point considéré, si l'on prend cet axe égal de part et d'autre, il arrivera que les surfaces 2 et 1' se couperont suivant deux courbes planes (n** 750), dont les projections sur un plan perpendiculaire à la normale,