CHAPITRE I. — THÉORÈMES DIVERS

se réduiront à deux droites faciles à construire ; alors ces droites seront évidemment les tangentes des deux branches de l'intersection de S avec S', pour le point multiple en question. Cette méthode ingénieuse a été donnée par M. Th. Olivier, dans un Mémoire inséré au 21^ cahier du Journal de l'École Polytechnique; et l'auteur l'a appliquée au conoïde de la voûte d'arêtes en tour ronde, dont nous avons trouvé les tangentes par un autre moyen (n° 646).

735. DES TANGENTES CONJUGUÉES ou réciproques. Lorsqu'un cône Fig. i5o, VMKN est circonscrit à une surface du second degré, une arête quelconque VM de ce cône et la tangente MV menée à la courbe de contact MKN par le pied de cette arête, sont toujours respectivement pai^allèles à deux diamètres conjugués de la section faite, dans la surface, par un plan parallèle au plan tangent VMT'.

Pour démontrer ce théorème (*), adoptons comme plan de la figure le plan diamétral qui, passant par l'arête MV et le diamètre VO , coupera la surface suivant une courbe NXMY à laquelle VM sera tangente. D'ailleurs, si nous menons le plan diamétral conjugué de VO, la section de ce plan avec la surface sera une courbe EZY parallèle et semblable (n° oSi) à NKM, et par suite les tangentes YT et MT' se trouveront parallèles; donc, le conjugué de OY sera une droite OZ parallèle à MT'. Gela posé, les trois diamètres OX , OY, OZ étant conjugués entre eux, il en résulte que le plan XOY de la figure actuelle, divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles à OZ; donc il en sera de même du diamètre RY' tiré parallèlement à MV; et ce diamètre étant ainsi le conjugué de OZ dans la section RZY' qui se trouve bien parallèle au plan tangent VMT', l'énoncé du théorème en question est justifié, puisque OY' et OZ sont respectivement parallèles à l'arête VM et à la tangente MT'.

756. Ces deux tangentes de la surface ont été aussi nommées réciproques, parce que si l'on plaçait sur MT' le sommet d'un nouveau cône circonscrit à l'ellipsoïde, la courbe de contact de ce cône aurait pour tangente la droite MV. En effet, la section faite dans la surface proposée par un plan parallèle au plan tangent en M , serait encore la courbe RZY', dont le diamètre OZ parallèle à MT' a pour conjugué OY'; ainsi la tangente à la nouvelle courbe de contact, qui doit, par le théorème précédent, se trouver parallèle à OY', ne pourrait être que MV qui remplit cette condition.

(*) Il est dû à M. Dupin; mais nous le démontrons ici dune manière différente , sans «passer par l'intermédiaire d'un cylindre.

FiG. i5i. 757. Cette réciprocité et le théorème du n° 7S5 sur lequel elle est fondée, s'étendront facilement à un cône circonscrit à une surface quelconque S. Car, soient AMB la courbe de contact de ces deux surfaces , MT une de ses tangentes, et VM l'arête du cône qui aboutit au point de contact; cette arête peut être regardée (n° 182) comme l'intersection de deux plans tangents infiniment voisins, menés du sommet V à la surface, et dont les points de contact/; et q avec S, se trouveront sur la courbe AMB. Maintenant, imaginons l'ellipsoïde ou l'hyperboloïde 2, qui serait osculateur de S en M : dans les environs de ce point, les surfaces S et 2 auront deux plans tangents consécutifs de communs; donc les points p et q appartiendront aussi à la courbe de contact A'MB' du cône qui, ayant son sommet eu V, serait circonscrit à 2; et par suite, cette dernière courbe aura encore pour tangente MT. Or, dans la surface 2, on sait (n" 755) quelle relation existe entre MV et MT; donc aussi, pour la surface quelconque S, l'arête du cône circonscrit et la tangente à la courbe de contact, sont respectivement parallèles à deux diamètres conjugués de la section faite parallèlement au plan tangent, dans la surface du second degré osculatrice de S; et ces deux tangentes offrent pareillement la réciprocité énoncée au n° 756.

758. Ce théorème, qui nous sera utile dans la perspective d'un tore et d'un piédouche, subsiste évidemment pour un cylindre circonscrit à la surface quelconque S , puisqu'on peut supposer le sommet V placé à l'infini sur MV ; et il serait facile de l'étendre, par des considérations semblables, à une surface développable quelconque qui se trouverait circonscrite à la surface donnée S,