CHAPITRE II

Méthode des Plans cotés (*).

759. Pour représenter graphiquement les points et les lignes, nous avons vu qu'il suffisait d'assigner leurs projections sur deux plans fixes, et que de là on pouvait déduire tout ce qui intéressait sur les distances de ces points, sur la forme de ces lignes ou des surfaces auxquelles elles appartiennent, etc. Mais^ dans certains cas, comme pour les dessins de Fortification et pour la Topographie, on trouve plus commode de définir les objets seulement par leur projection horizontale, à laquelle on ajoute des cotes qui indiquent la hauteur des divers points au-dessus d'un plan horizontal fixe, que Ton suppose plus bas que tous les objets en question. Il est évident que cette méthode , où l'on n'emploie qu'un seul plan de projection, suffit néanmoins pour déterminer complètement la position de chaque point, parce que la cote de celui-ci remplace sa projection verticale , et pourrait même servir à retrouver cette projection, si on le désirait. Aussi nous allons voir que, par cette marche, on résout aisément tous les problèmes élémentaires de la Géométrie descriptive, et d'une manière qui se prête mieux aux traductions numériques auxquelles on est obligé de recourir dans la Fortification; car ici les données et les résultats d'un problème offrent des dimensions trop considérables pour pouvoir être exprimées sur les dessins autrement que parle moyen d'une échelle de réduction. Ajoutons encore que, dans la Fortification , le peu de relief de la plupart des objets au-dessus. du sol , comparativement à leurs dimensions horizontales, rendrait incommode l'emploi d'un plan vertical de projection, sur lequel le plus grand nombre des droites considérées seraient presque horizontales, et iraient se rencontrer fort loin.

760. Observons , d'ailleurs , que ce mode de description ayant été d'abord employé pour des côtes sous-marines rapportées au niveau de la mer, l'usage a prévalu de compter les ordonnées verticales de haut en bas, en les regardant cprame de véritables sondes abaissées d'un plan de comparaison horizontal situé

(*) La plus grande partie de ce chapitre est tirée, en substance, des Leçons rédigées en i83i pour rÉcole d'Application de Metz, par M. le capitaine du Génie Noizct, qui a ainsi coordonné et perfectionné les éléments de la méthode des plans cotés, quoiqu'elle eût été déjà employée par d'autres ingénieurs.

au-dessus de tous les objets considérés; tandis que le plan de projection sur lequel on opère, est toujours censé horizontal et placé à une distance arbitraire au-dessous de ces mêmes objets. Du reste, ces conventions ne rendront pas plus difficile 1 évaluation de la différence de niveau de deux points donnés ; mais il faudra se rappeler que le point qui est affecté de la cote la plus forte , est plus hns que l'autre.

Pl. ()2 761. D'après cela, un point sera représenté par sa projection et par sa cote , FiG. I. comme celui qui est indiqué (12", 5) dans la Jîg. i. Cependant, s'il y avait plusieurs points remarquables situés sur la même verticale , il faudrait écrire la cote de chacun d'eux auprès de cette projection commune. FiG I 762. Une droite est définie par sa projection, avec les cotes de deux de ses

points. De là il serait facile , au moyen d'un trapèze rabattu , de conclure graphiquement la longueur d'une portion de cette droite , son inclinaison sur l'horizon, la cote d'un troisième point de cette ligne, donné par sa projection; ou réciproquement, la projection d'un point défini par sa cote : mais, comme pour les applications que nous avons en vue ici, il faudrait finir par évaluer ces résultats en nombres, il sera plus exact et plus commode de construire d'abord l'echelle de pente de la droite proposée. Soient, par exemple, (14"", 7) et (i 2'",5 ) les deux points donnés; on commencera par chercher l'intervalle L qui, sur la projection de la droite, séparera deux points dont les cotes différeront d'un mètre, et on y parviendra évidemment par la proportion suivante, où D désigne l'intervalle des deux projections données :

Ainsi , après avoir évalué D en parties de V échelle horizontale du dessin , on

calculera aisément la longueur L; et si l'on porte les — de cette longueur audessous du point (i4'",7), on obtiendra celui qui doit avoir la cote lÔ". Puis en portant, à partir de ce dernier point, la longueur I^ plusieurs fois de suite, on trouvera les points qui répondent aux cotes i4'", 13", 12", , et il restera à subdiviser un de ces intervalles en dix parties égales , pour compléter Véchelle de pente âe la droite proposée. FiG. I. 763. Gela posé, désignons par A la projection assignée d'un point situé sur cette droite, et dont on demande la cote. Si A tombe entre les divisions i3° et 1 4", par exemple , on prendra avec le compas la distance horizontale du point A au point 1 3"", et en la portant sur la partie de l'écUçlle de pente qui est subdi-