CHAPITRE II. — MÉTHODE DES PLANS COTÉS

plan est indéfini , on le désigne par le plan horizontal à la cote n. Si le plan donné est vertical , ou le représente simplement par sa trace horizontale.

775. Déterminer le plan qui passe par trois points donnés (9'",4), ( 1 4" )> et F^G. 2 (17"). On joindra par une droite le premier et le dernier de ces points, et au moyen d'une proportion analogue à celle employée dans le n° 762 , on cherchera sur cette droite un point qui ait pour cote 1 4" ; alors la droite qui réunira ce dernier point avec le second des points donnés , sera évidemment une horizontale du plan demandé ; et une parallèle menée par le point (17"*) sera une seconde horizontale de ce plan, dont l'échelle de pente deviendra dès lors très-facile à marquer et à graduer.

La même marche s'appliquerait évidemment au cas où le plan demandé devrait passer par un point et par une droite donnés; et si cette droite était déjà pourvue de son échelle de pente , la solution serait encore plus simple.

774. Par une droite donnée ^ conduire un plan dont la pente soit ~. On Pl. 62,

" FiG. 3.

doit connaître au moins les cotes de deux points de cette di'oite, qui sont

ici 10" et 1 2'",5 : alors , en regardant le premier point comme le sommet d'un cône droit dont les' génératrices auraient l'inclinaison - (n** 76-3), il suffira évidemment de mener à ce cône un plan tangent qui passe par le second point. Or , si l'on décrit un cercle qui ait pour centre la projection du point (lo*"), et pour rayon une longueur prise sur l'échelle horizontale du dessin, et égale à n fois la différence 2",5 des cotes des points donnés, ce cercle sera la trace du cône en question sur le plan horizontal qui passe par le point inférieur ( 1 2°',5 ) ; donc , en menant par ce dernier point deux tangentes à ce cercle, on obtiendra les traces horizontales de deux plans qui satisferont au problème ; et leurs échelles de pente s'en déduiront aisément , puisque l'on connaîtra leurs directions et deux points cotés de chacune d'elles. Il est d'ailleurs facile de voir que le problème n'admettra qu'une solution ou deviendra impossible , selon que la pente assignée sera égale à celle de la droite donnée , ou moindre que cette dernière.

775. Lorsque la droite définie pai- les deux points cotés , se trouvera trèspeu inclinée , la méthode précédente conduirait à tracer un cercle très-petit , et pai'là peu commode à employer. Dans ce cas, on prendra un plan horizontal inférieur aux deux points, et coté en nombre entier ; puis, on décrira sur ce plan deux cercles dont les centres soient les projections des deuv.

3y4 LIVRE IX. — ADDITIONS.

points proposés , et dont les rayons soient n fois la hauteur de chacun de ces points au-dessus de ce plan horizontal. On aura ainsi les bases de deux cônes dont la pente sera -, et il restera à mener une tangente commune à ces deux cercles.

776. Si la droite donnée était horizontale , on connaîtrait de suite la projection de l'échelle de pente du plan cherché ;*puis , comme l'inclinaison - est

assignée, il n'y aurait qu'à porter sur cette échelle, à partir de la droite

proposée , une longueur de n mètres mesurée sur l'échelle horizontale du des-

* sin, et l'extrémité de cette longueur répondrait à un point de l'échelle de

pente, dont la cote serait moindre d'un mètre que le point situé sur la droite

donnée. Ayant ainsi deux points cotés de cette échelle de pente, il serait bien

facile d'en achever la graduation. ;

FiG. 4- 777. Par un point (lO^^Z) situé sur un plan donné, tracer sur ce plan une

W* droite dont la pente soit -. On tracera une horizontale de ce plan dont la cote

diffère de celle du point donné, de 4™ par exemple; puis, avec un rayon égal à 4 fois la base n de la pente assignée, et du point donné comme centre, on décrira un arc de cercle qui, en coupant l'horizontale choisie, fera connaître le point que l'on doit joindre avec le point donné pour avoir la droite demandée. On sent que ce problème aura en général deux solutions; mais elles se réduiront à une seule , ou deviendront impossibles , si la pente assignée pour la droite , égale ou surpasse celle du plan donné.

778. Etant donnée la projection dun point situé sur un plan connu, trouver la cote de ce point? On mènera par cette projection , une perpendiculaire sur l'échelle du plan , et la cote du point de rencontre sera celle du point proposé.

Si l'échelle du plan n'était pas construite, et qu'il fût représenté seulement par diverses horizontales , on pourrait appliquer sur le point proposé une règle divisée en millimètres, en la plaçant de manière que deux divisions entières tombassent sur les horizontales voisines; par-là, on apprécierait immédiatement la fraction de mètre qu'il faut ajouter à la cote de l'horizontale supérieure pour obtenir la cote du point en question, FiG. 5. 779. Trouver l'intersection de deux plans donnés. On tracera dans chaque plan deux horizontales qui aient respectivement les mêmes cotes; et la rencontre de ces quatre droites fera connaître deux points cotés de l'intersection demaadée, ce qui en déterminera la projection et la pente.