CHAPITRE II. — MÉTHODE DES PLANS COTÉS

780. Lorsque les horizontales des deux plans proposés se rencontreront Fig. 6. trop loin, on emploiera deux plans auxiliaires qui, en coupant chacun des

plans donnés suivant deux droites, feront connaître deux points de l'intersection cherchée.

De même, si les deux plans donnés avaient leurs horizontales respectivement parallèles, un seul plan auxiliaire suffirait, parce qu'alors l'intersection demandée devrait être aussi parallèle aux horizontales primitives.

781. Trouver i intersection d'une droite et d'un plan donnés. On conduira FiG. 7. par la droite proposée , un plan auxiliaire dont les horizontales seront deux parallèles menées arbitrairement par deux points de cette droite; puis, en cherchant l'intersection de ce plan auxiliaire avec le plan donné , cette intersection coupera la droite proposée au point que l'on demandait.

782. On trouvera semblablement le point de rencontre de deux droites Fig. 8. données, qui seraient situées dans le même plan vertical. Car, en conduisant par chacune d'elles un plan arbitraire , l'intersection de ces deux plans

ira passer par le point cherché , dont la cote s'estimera ensuite comme au n" 763.

783. Par un moyen analogue , on pourra reconnaître si deux droites données, dont les projections sont différentes, se coupent effectivement; car, dans ce cas, il faudra que l'intersection des deux plans arbitraires conduits par ces droites , aille passer par le point commun aux deux projections données.

784. Par un point donné (io'",4) ■> conduire un plan parallèle à un plan donné. Pl. 63 L'échelle de pente du plan cherché sera parallèle à celle du plan connu, et Fig. 9. passera parle point donné. D'ailleurs, puisque l'inclinaison doit être égale, il

suffira de joindre le point (io'",4) avec celui qui a la même cote sur l'échelle donnée , puis de mener à cette ligne de jonction , des parallèles par les autres divisions de l'échelle du plan connu.

785. Par deux droites données, conduire deux plans qui soient parallèles FiG. 10. entre eux. On mènera par un point de la première droite , une parallèle à la seconde; et par un point de celle-ci une parallèle à la première droite. Alors.

en conduisant un plan par la première et la troisième droites ,. puis un autre plan par la deuxième et la quatrième-, on obtiendra évidemment les deux plans demandés. On sent bien qu'ils se réduiraient à un seul , si les droites primitives se coupaient ; ou qu'ils deviendraient indéterminés , si elles étaient parallèles.

786. D'un point donné (S",»), abaisser une perpendiculaire sur un plan

connu. La projection de cette perpendiculaire sera évidemment parallèle à la projection de l'échelle du plan, mais leurs inclinaisons seront inverses l'une

de l'autre ; c'est-à-dire , que si la pente du plan donné est ^ , par exemple ,

celle de la droite cherchée sera ^. Alors , en prenant sur l'échelle horizontale du dessin , une longueur égale à 3 mètres , et portant cet intervalle sur la perpendiculaire indéfinie, au-dessous du point donné (8°',2),-on obtiendra un secofld point de cette perpendiculaire qui aura pour cote (8"',2-|-5") ou (13™, 2). Par-là, cette perpendiculaire sera complètement déterminée; mais nous laisserons au lecteur le soin d'exécuter ces constructions , ainsi que celles qui sont indiquées dans les deux numéros suivants.

787. Si d'ailleurs on cherche (n" 781) le point de rencontre de cette perpendiculaire avec le plan proposé , puis que Ton calcule la vraie distance de ce point de section au point donné (n° 764), on connaîtra la plus courte distance de ce dernier point au plan proposé.

788. De même, si l'on demandait la plus courte distance d'un point à une droite , on conduirait par ce point un plan perpendiculaire à cette droite , et l'échelle de ce plan se construirait par un procédé inverse de celui du n** 786. Ensuite , on chercherait le point de rencontre de ce plan et de la droite proposée, puis la vraie distance de ce point de section au point donné.

Les questions qui précèdent suffisent , sans doute , pour montrer comment on résoudra tous les problèmes où il n'y aura à combiner que des droites avec des plans.

Pl. 65 ^^^- LES SURFACES COURBES , surtout lorsqu'elles ne sont pas suscep- FiG. 1 1. tibles d'une définition rigoureuse, comme cela arrive pour la surface du sol, se représentent par les projections d'un certain nombre de courbes de niveau, qui sont les sections que produiraient dans cette surface des plans horizontaux , équidistants dans le sens vertical : puis , l'on regarde chaque zone comprise entre deux courbes de niveau consécutives , comme engendrée par une droite qui, en glissant sur ces deux courbes, demeurerait constamment îiormale à l'une d'elles, par exemple à la courbe inférieure. C'est donc une surface gauche que l'on substitue ainsi à la surface réelle du terrain , dont la forme rigoureuse ne serait connue qu'autant qu'on aurait assigné la loi géométrique qui lie entre elles les diverses sections de niveau; mais cette approximation est bien suffisante ici.