CHAPITRE II. — MÉTHODE DES PLANS COTÉS. v 3-yA

790. Ordinairement, les courbes horizontales sont assez rapprochées et assez peu différentes dans leur courbure, pour que la génératrice rectiligne de chaque zone puisse être regardée comme sensiblement normale aux deiLx courbes à la fois. Dans cette hypothèse , la surface que l'on substitue à la zone du sol, devient développable (n° 180); car chaque génératrice, pour passer à une position infiniment voisine, se meut sur deux tangentes évidemment parallèles, et dès-lors situées dans un même plan.

791. Lorsque la distance des sections de niveau se trouve, dans certaines FiG. i f. régions, trop considérable pour que les droites génératrices soient sensiblement normales aux deux courbes voisines , on substitue à ces droites des arcs

de courbe qui remplissent cette condition ; et par-là on ne change pas le mode de génération , car cela revient à imaginer d'autres sections de niveau intercalées entre les premières , et assez voisines pour intercepter sur la génératrice curviligne , des arcs qui puissent être regardés comme confondus avec leurs cordes.

792. Si , à partir d'un point donné sur la surface , on mène ainsi une normale à la courbe inférieure : puis, que du pied de cette normale, on en conduise une autre perpendiculaire à la troisième courbe, et ainsi de suite; l'ensemble de ces diverses normales formera la ligne de plus grande pente de la surface , relativement au point de départ.

793. Trouver la cote d'un point donné par sa projection horizontale ^ et si- Fig. 1 1. tue sur une surface connue. Si cette projection tombe entre les courbes de niveau qui ont les cotes 12" et iS"*, on mènera par ce point une génératrice normale dont les extrémités auront ces mêmes cotes; et au moyen d'une simple proportion, on trouvera la cote du point proposé ( i2'",6).

794. La question réciproque , où l'on aurait pour but de trouver tous les points de la surface qui ont une cote donnée ( i4'°ï5 )•> est également facile à résoudre; et c'est par ce moyen qu on intercalera de nouvelles courbes de niveau entre les premières, ainsi qu'on le voit dans la figure.

795. Construire le plan tangent pour un point donné sur une surface connue. FiG. 1 1. Lorsque le point donné M sera placé sur une des courbes de niveau , le plan tangent devra passer par la tangente de cette courbe et par la pénératrice rectiligne LM qui lui est normale; ainsi , en prolongeant cette normale jusqu'à

la courbe supérieure, la partie interceptée fera connaître : j°la direction de l'échelle de pente du plan demandé; 2° les cotes de deux points de celte échelle dont la graduation sera bien facile à achever. Si l'on admet l'hypothèse du ji° 790, ce plan touchera la zone tout le long de la génératrice interceptée LM ;

tandis qu'il ne serait tangent qu'au point M, si l'on conservait la génération du n° 789.

796. Quand le point de contact sera donné entre deux courbes de niveau consécutives, on mènera encore de ce point une normale à la courbe inférieure; et si cette droite est sensiblement normale à la courbe supérieure, la partie interceptée fournira la direction et la grandeur d'une des divisions de l'échelle du plan tangent. Dans le cas contraire, on tracera (n" 794) la section horizontale qui passerait par le point donné; et alors la tangente et la normale de cette courbe détermineraient le plan tangent comme au numéro précédent.

797. Dans les applications de la méthode actuelle , il importe beaucoup de savoir discerner d'avance quelle sera la position du plan tangent par rapport à la surface, dans les environs du point de contact. Or, d'après ce que nous avons dit sur la courbure des surfaces et la note du n° 695, on peut poser, comme vraie en général, la règle suivante : Lorsque deux courbes tracées sur une surface se coupent à angles droits , et que l'une et l'autre sont convexes , c'est-à-dire situées au-dessous du plan tangent relatif au point com- \ mun , la surface est elle-même convexe tout autour de ce point. Cette conséquence ne souffrirait d'exception que si les tangentes aux deux courbes rectangulaires se trouvaient comprises dans le même angle obtus PM^jf ou QM/3 [fig. i34) formé par les deux plans normaux Limites dont nous avons parlé au n® 694 : mais ce cas exceptionnel ne se présentera pas ici pour la section de niveau et la ligne de plus grande pente, du moins en conservant l'hypothèse d'une zone développable admise au n° 790; car alors cette ligne de plus grande pente sera tangente à l'une d'es deux sections principales. Ainsi, pour s'assurer que la surface du sol est convexe autour d'un certain point, il suffira de reconnaître que la courbe de niveau et la ligne de plus grande pente sont toutes deux convexes dans le voisinage de ce point ; or la première de ces lignes est donnée en vraie grandeur sur le plan horizontal, et quant à la seconde, voici un caractère facile à saisir.

FiG. II. 798. En désignant par h la distance verticale de deux sections de niveau consécutives, et par / leur distance tM en projection horizontale, il est clair que l'inclinaison a de la tangente à la ligne de plus grande pente au point M , sera

donnée par la relation tang a = -. Si donc on veut que cette courbe soit

convexe , ou située au-dessous de sa tangente dans le voisinage du point considéré, il faut évidemment que l'angle a aille en augmentant à mesure que