CHAPITRE III

Notions préliminaires sur les Engrenages.

805. Quapd un corps solide, quelle que soit sa forme, tourne autour d'unr axe fixe, tous les points de ce corps décrivent, dans un même temps , des arcs de cercle correspondants à des angles qui sont nécessairement égaux, puisque le système est de forme invariable; donc ces arcs se trouvent proportionnels à leurs rayons qui sont les distances de ces divers points à Taxe fixe , et conséquemmentles vitesses absolues v, u', v'\... de tous ces points sont aussi proportionnelles aux rayons r, r', r",... ; de sorte que si l'on désigne par w la vitesse absolue commune à tous les points qui sont placés à une distance de l'axe égale à l'unité, on aura toujours les relations

- = -7 = -7,- = .... = u, a ou u = rw, «/ = r w,....

I^a quantité w est ce qu'on appelle la vitesse angulaire ou la vitesse de rotation du système, soit qu'elle demeure constante ou qu elle varie avec le temps.

806. Gela posé, le but qu'on se propose dans un engrenage cylindrique, p^ (»4 c'est d'établir entre deux axes parallèles, projetés en O et O', une dépendance FiG. i. telle que quand on imprimera au premier une vitesse de rotation w , le second axe prenne aussi une vitesse de rotation w' qui ait avec w un rapport constant et assigné dans chaque question particulière. Or, si l'on divise l'intervalle OO' en deux parties OA = R, O'A = R', qui soient en raison inverse des vitesses u et w', ou telles que l'on ait

puis, si avec ces distances comme rayons, on décrit deux cercles tangents en A et dont chacun soit lié invariablement avec son axe, on atteindra évidemment le but proposé, en faisant tourner ces deux cercles primitifs de manière que les points de l'une et l'autre circonférence prennent des vitesses absolues qui soient égales. Car, en les désignant par V et V, il en résultera des vitesses angulaires données par les formules

et si V = V ', il s'ensuivra bien

Mais , pour que les vitesses absolues des deux circonférences OA et O'A soient éfjales, il faut évidemment que les deux points A et a, placés actuellement en contact sur la ligne des centres, parcourent dans un même temps, des arcs AA' et aa' qui soient égaux en longueur absolue; c'est donc là définitivement la condition essentielle qui devra être remplie dans tout engrenage. FiG. j. 807. Pour que le mouvement de rotation imprimé à la roue O soit transmis à la roue O' d'une manière efficace et capable de vaincre des résistances considérables, on arme ces deux roues de saillies ou dents, termine'es par des surfaces cylindriques projetées sur des courbes telles que AB et ab. Mais si l'on peut tracer à volonté l'un de ces profils ab , l'autre ne doit pas être choisi arbitrairement : sans quoi la condition essentielle du n" 806 ne se trouverait pas remplie; et pour énoncer plus clairement la forme qui convient au profil AB, nous poserons la question dans des termes un peu différents. Pl 64 808. Imaginons que le cercle O demeure entièrement immobile, et que le FiG. 2. cercle O' roule sur celui-là , sans glisser , et en entraînant la courbe ab qui fait corps avec lui. En prenant sur les diverses positions 0'^ , O'a, O'a,.... de ce cercle mobile, les arcs

on obtiendra d'abord l'épicycloide aa^a^a^a^ (n° 471 ) : puis, si l'on trace les

courbes a^b^^ a^b^^ «3^3, identiques avec a6 pour la forme et la situation

relative, ces| courbes se couperont consécutivement en des points /, i', i", i'", qui donneront lieu à un polygone curviligne ; mais en rapprochant indéfiniment les centres O', , O'a, O'g, ce polygone deviendra, à la limite, une courbe continue Ae, 6363646 qui se nomme l'enveloppe de toutes les courbes individuelles ab, a^bt, a.^b^,...., parce qu'elle se trouve évidemment tangente à chacune de celles-ci que l'on appelle les enveloppées (n°* 190, 192).

Cela posé, je dis que cette enveloppe AdiB est le profil qu'il faut adopter pour la dent de la roue O. En effet, si l'on faisait tourner autour du centre O le système invariable des deux cercles O et 0'4 , sans altérer en rien leur situation relative, jusqu'à ce que la droite OA^O',, eût repris la position verticale OAO', ces deux cercles se trouveraient alors, avec les courbes Ae4B et «464 , dans une position (^fig. 3) qui serait évidemment identique avec celle