CHAPITRE m. — PRÉLIMINAIRES SUR LES ENGRENAGES

qu'auraient prise les cercles O et CV de la ficj. i , si ceux-ci avaient simplement tourné autour de leurs centres immobiles, et de manière à imprimer aux circonférences aê, a'ê', des vitesses absolues égales : car, sur \^ ficj. 3, on voit bien que les points A et a* (jui se trouvaient primitivement en contact sur la ligne des centres, auront parcouru des arcs A4A et A^a^ égaux en longueur absolue, puisqu'ils sont les mêmes que les arcs A^A et ÈL^a^ de la^iV/. 2, et que ceux-ci sont égaux par la définition du roulement donnée au n° 469. Donc, comme il en arriverait autant pour les cercles O et 0\ , O et O'a,..., on peut affirmer que la condition essentielle aux engrenages (n" 806) sera bien remplie, si l'on adopte pour profil coujugné de ab l'enveloppe Ae^B définie comme nous l'avons fait ci-dessus.

809. De là on peut conclure ce principe général : faire tourner simultanément les deux cercles O et O' autour de leurs centres immobiles, et de manière que les circonférences a€ et a'ê' prennent des vitesses égales, c'est la même chose que de faire rouler la circonférence a'ê' sur la circonférence aê entièrement immobile, sauf à ramener ensuite le système de ces deux cercles, rendu invariable, dans la situation où la ligne des centres reprendra la position primitive OO'. Mais on doit sentir que ce second mode de mouvement est plus commode pour les opérations graphiques, puisqu'on peut les effectuer sur , le plan du cercle O devenu immobile.

De même si, dans la première hypothèse, on a besoin de trouver la courbe

gg\gi décrite sur le plan mobile du cercle O, par un point quelconque g

lié invariablement avec la circonférence a'ê', il suffira de faire rouler cette dernière sur la circonférence aê entièrement fixe; et alors le point g décrira

une épicycloïde allongée ggtg^gs que nous avons appris à construire

( n° 473 ) , et qui sera la courbe que l'on cherchait.

810. On voit donc que, pour la théorie des engrenages, il est nécessaire FiG. 2. de savoir construire l'enveloppe des positions successives que prend une courbe

ab entraînée par un cercle mobile O' qui roule sur un autre cercle O entièrement fixe. On pourrait, il est vrai, se contenter de tracer cette enveloppe Ae, 6363646

enla rendant sensiblement tangente aux courbes individuelles a/>, a,6,, a^h^^

construites comme au n° 808 ; mais on obtiendra plus de précision , en cherchant directement la position des points de contact par le théorème suivant.

Si l'on considère le cercle individuel O'j avec l'enveloppée correspondante «363, et qu'on mène à celle-ci une normale A^e, partant du point de contact du cercle mobile, je dis que e, sera le point de contact de l'enveloppe AB sur la

courbe aj^s- En effet, pendant la rotation du cercle O'g pour passer à une position infiniment voisine , le point e^ décrit (n° 470) un petit arc circulaire egS qui a pour rayon la distance AgCg : or puisque cette droite a été choisie normale à la courbe a^b^y l'arc e^s. sera tout entier sur l'enveloppée a^b^; donc le point s se trouvera commun à l'enveloppée «363 et à celle qui la suit immédiatement, et dès-lors ce point appartiendra à l'enveloppe cherchée AB. Mais cette enveloppe passerait aussi par un point analogue e' situé à gauche de e^ , et qui serait l'intersection de la courbe a^b^ avec l'enveloppée qui la précède immédiatement ; donc l'élément s'CgS se trouve commun à l'enveloppée «363 et à l'enveloppe générale AB ; par conséquent le contact de ces deux lignes est bien en e^ , et leur normale commune est AgCg.

811. D'après cela, quand l'enveloppée a6 sera définie géométriquement, on saura mener à ses diverses positions des normales partant des points Aj, A3,,.., lesquelles feront connaître autant de points Ca, 63,..., de l'enveloppe générale. Si l'enveloppée ab n'est donnée que graphiquement, après l'avoir transportée dans la position a^b^ , par exemple, on cherchera une ouverture de compas telle qu'en décrivant du centre Ag un arc de cercle , il touche simplement la courbe «36g; une petite portion de cet arc appartiendra sensiblement à l'enveloppe, et en raccordant tous les arcs semblables par un trait continu, on obtiendra l'enveloppe cherchée avec une exactitude suffisante pour la pratique. Néanmoins ce tracé offrirait encore plus de précision, si on l'effectuait avec les rayons des cercles osculateurs de l'enveloppe; c'est pourquoi nous allons donner le moyen de trouver ces derniers.

812. Auparavant , observons que si l'on faisait au contraire rouler sur le cercle O' rendu fixe, le cercle O devenu mobile en emportant avec lui la courbe Aete^e^eji, l'enveloppe de toutes les positions de cette dernière courbe serait précisément la ligne ab. En effet, lorsqu'un point du cercle O, Ag par exemple, sera venu en contact avec la circonférence O', la courbe ag/>g , qui touche actuellement la ligne AcgB, coïncidera évidemment avec ab, et conséquemment cette dernière se trouvera bien tangente à la position qu'aura prise alors la ligne AcgB.

Pl 64 815. Centres de courbure de r enveloppe. Soit O' une position quelconque du FiG, 4- cercle mobile qui touche le cercle fixe O au point a; soient ab l'enveloppée correspondante à cette situation, AmB l'enveloppe générale. G' et C les centres de courbure de ces lignes pour le point de contact m , centres qui doivent être sur la normale commune am , et dont le premier est censé connu par la définition de la courbe amb. Si l'on prend sur les cercles primitifs deux arcs aa, et aa'