CHAPITRE lir. — PRÉLIMINAIRES SUR LES ENGRENAGES

qui soient égaux en grandeur absolue et infiniment petits, la droite Ca,m, sera (n° 810) une normale de l'enveloppe, et G'm'a' une normale de l'enveloppée ; or, quand la rotation du cercle O' aura amené le point a' en contact avec a, , les deux normales Ca, et C'a' se trouveront nécessairement en ligne droite , ainsi que les deux rayons Oa, et O'a' ; d où l'on conclut que les angles Oa,C et O'a'C doivent être égaux actuellement, puisqu'ils ne changeront pas de grandeur pendant le roulement du cercle O '. Gela posé , en désignant par cp l'angle OaC = O'aG', on a évidemment

Oc^.G = ^ 4- O - G, OVG' = <p + G' - O';

d où il résulte , en égalant ces deux expressions ,

(a) 0 4-0' = G-hG'.

Pour estimer ces derniers angles , il faut employer les arcs décrits de leurs sommets avec un rayon égal à l'unité, et comparer ces arcs avec aa, et aa' que l'on doit regarder comme une seule ligne droite perpendiculaire à OaO '. Dès lors , en posant

Oa=rR, Gm = p , O'a = R' Cm ^ p\ ccm = p ^ acx., = olol' = ds>, on trouvera aisément

angle 0=-, 0=^, C = -^-^ , C = ^-^ ;

et en substituant ces valeurs dans l'égalité précédente (a) , il viendra

formule très-simple qui fera connaître le rayon de courbure o de l'enveloppe , et par suite son centre de courbure G, quand on connaîtra le rayon p' de l'enveloppée. "^ ' '

814. On prévoit aisément , sans tracer une nouvelle figure , qu on devra changer le signe de p' dans cette formule , quand le centre G' tombera du même côté que G par rapport au point m : il en faudra faire autant pour R', si le centre O' est placé du même côté que O relativement au point de contact a des

deux cercles. Ainsi, dans le cas de la fig. 5, l'équation (A) prendra la forme

qui est bien symétrique dans toutes ses parties. Sous ce point de vue, il eût été plus rationnel d'établir la démonstration sur la ^^. 5. où les centres sont placés d'un même côté de la tangente ; mais comme ce dernier cas se présente beauoup plus rarement dans les engrenages, nous avons voulu fixer l'attention sur les données les plus habituelles.

Les formules (A) et (B) et celles du n** 817 sont dues à M. Savary, ainsi que la construction graphique fort élégante que nous allons exposer. Fig. 6. 815. Joignons par des droites les centres O et G , O' et G'; puis, en prolongeant ces droites, cherchons les points D et D' où elles iront couper la perpendiculaire aD élevée sur la normale commune GaG'; il arrivera que ces deux points D et D' seront confondus. En effet, si des centres O et O' on abaisse des perpendiculaires sur la normale GaG', on formera des triangles semblables avec GaD et G'aD', desquels on tirera aisément

aD= (p— /^) Rsiny ^p, {?' + p) R^siny ^

R cos()) — (p — p)"* {?'+P) — R' coscp*

Or la formule (A) donne, en transposant le second et le troisième terme,

' R cos tp — (p — p) (p'~^p) — R' cos (j)

ce qui prouve que les valeurs précédentes de aD et aD' sont bien égales.

816. Ainsi, quand on connaîtra le centre de courbure G' pour le point m de l'enveloppée amb, on tirera la droite G'O' que l'on prolongera jusqu'à ce qu'elle rencontre en un point D la perpendiculaire aD élevée sur la normale amG' : puis, enjoignant ce point D avec O, la droite OD ira couper la normale prolongée G'a au point G qui sera le centre de courbure de l'enveloppe AmB pour le point m. Lorsque l'enveloppée am6, au lieu d'être définie par ses propriétés géométriques, ne sera donnée que graphiquement, on tracera plusieurs cercles tangents en m à cette courbe, et en choisissant celui d'entre eux qui approchera davantage de se confondre avec «6 dans les environs de m, son centre pourra être pris pour le point G'.