CHAPITRE III. — PRÉLIMINAIRES SDR LES ENGRENAGES

Dans tous les cas , si avec les rayons tels que Cm , on décrit de petits arcs de cercle, et qu'on les raccorde par un trait continu, on obtiendra le tracé de l'enveloppe AmB de la manière graphique la plus exacte.

817. Avant d'appliquer ces résultats à divers exemples, nous placerons ici une remarque importante pour la théorie des engrenages; c'est que pendant la rotation du cercle O' sur le cercle fixe O, la courbe amb ne roule pas simple- FiG. 4ment sur AmB, mais elle fj lisse en même temps sur cette dernière (n*' 469) , d'où il résulte entre les dents des deux roues un frottement qui consomme une partie de la force motrice. En effet, lorsqu'à une époque quelconque les cercles O et O ' se touchent en a , le contact m de l'enveloppe avec l'enveloppée est donné par la normale CamC menée de ce point a; donc, quand un déplacement infiniment petit aura fait toucher les cercles par les points a' et aj , les normales correspondantes seront les droites C'a' et Ga, qui vont déterminer les points m' et m, par lesquels l'enveloppée et l'enveloppe se toucheront à cette seconde époque du mouvement. Or, si les arcs mm' et mmf ne sont pas égaux et dirigés dans le même sens , il est clair qu'il y aura glissement de Tune des courbes sur l'autre : calculons donc ces arcs.

On a évidemment

p cos (B.ds , p ' cos flp. ds

mm, = — , mm =^^ — -, — - — ;

donc mm. — mm' = ( — r^ — ) cos©. ds = ( i: -+- ^^-7 ) pds^

\P—P p'+pJ ^ \R R / '^

en réduisant d'après la formule (A). D'ailleurs, si l'on considère un déplacement de grandeur finie , représenté par s" -s' sur le cercle fixe, la différence des arc* parcourus sur l'enveloppe et l'enveloppée par leur point de contact, sera donnée par l'intégrale définie

donc, en excluant le cas inusité où la portion de normale am = p changerait de signe dans l'intervalle de s' à s", il est certain que cette intégrale, composée d'éléments tous positifs, ne sera jamais nulle; et par suite il y aura toujours un glissement entre les courbes amb et AmB.

818. Nous ne nous arrêterons pas au cas très-particulier où p serait supposé constamment nul ; car cela exigerait que l'enveloppée et l'enveloppe fussent confondues avec les circonférences O' et O. Si l'un des deux centres G , G', était

situé entre a et m , on doit apercevoir, sur la fig. 4, qne les points m^ et m' seraient placés l'un à gauche et l'autre à droite de m; mais comme alors un des arcs mm^ , mm\ serait négatif, ce serait encore leur différence analytique qui donnerait l'écartement des points m< et m', de sorte que l'intégrale ù s'applique aussi à ce cas. Enfin, lorsque le roulement est intérieur, comme dans \3ifig. 5 , cette intégrale prendra la forme ^

mais puisque, dans ce cas, les rayons R et R' sont nécessairement inégaux, la différence â' des arcs parcourus par le contact se trouvera encore différente de zéro , et il y aura toujours un glissement entre l'enveloppe et l'enveloppée, pourvu que p ne change pas de signe dans l'intervalle que l'on considère.

Revenons maintenant à la construction graphique des centres de courbure d'une enveloppe, en prenant pour exemples les cas employés le plus ordinairement dans les engrenages.

Pl. 65, 819. Enveloppe d'un point mobile. Si l'enveloppée se réduit à un point FiG. 9. unique A placé sur la circonférence même du cercle mobile, l'enveloppe ne sera autre chose que la courbe décrite par ce point, c'est-à-dire l'épicycloïde simple AMB : ce serait l'épicycloïde allongée A'M'B', si le point générateur était placé en A' à l'extérieur du cercle mobile; et s'il était placé intérieurement en A", il donnerait lieu à répicycloïde raccourcie A"M' B". On a vu précédemment (n''* 471, 473) combien il est facile de trouver les points M, M', M" de ces courbes, qui répondent à chaque position du contact a du cercle mobile O'; et que les normales correspondantes sont les droites aM, aM', aM". Maintenant, pour obtenir les centres de courbure, il faut, suivant la règle du n° 816, élever sur chaque normale une perpendiculaire aD, ccD' ou aD", et la prolonger jusqu'à ce quelle coupe le diamètre MO' : puis, en joignant le point de section D, D' ou D", avec le centre O par une droite, cette dernière rencontrera le prolongement de la normale au centre cherché G, G' ou G". FiG. 9. 820. Pour l'épicycloïde simple AMB, on voit bien que, sans tracer la perpendiculaire aD, le point de rencontre avec MO' sera toujours à l'extrémité D de ce diamètre; en outre, la suite des centres de courbure analogues à G, formera une développée AGE qui sera elle-même une nouvelle épicycloïde que l'on peut déterminer à priori de la manière suivante. Après avoir élevé la perpendiculaire Gê sur la normale, on décrira un cercle qui ait pour diamètre l'intervalle aê, et un autre cercle qui ait pour rayon Oê: puis, en faisant rou-

^CHAPITRE III. - PRÉLIMINAIRES SUR LES ENGHENAGES. 3Sg

1er le premier sur le second, le point G engendrera la développée ACE. Pour justifier cette assertion, adoptons les notations suivantes :

Oa=R, 0'a=R', Oê = r, ag = 2r';

puis, observons qu'à cause de aD = MT, on a évidemment

og:Oa::§G:aD::aê:aT;

ce qui donne la relation

d'où l'on conclut

r:R::r':R'; d'ailleurs R = r H- 2r';.

R+aR'