RR/ RH-2R

Ces valeurs constantes prouvent déjà que les deux cercles décrits avec Oé et a§ resteront invariables de grandeur, quelle que soit la position du contact a du cercle primitif O'; dès lors, après avoir pris l'arc AF égal à la demi-circonférence MaD, et avoir tiré le rayon OEF, il ne restera plus qu'à démontrer que l'arc êC est égal à êE. Or les arcs semblables êC et MT sont proportionnels à leurs rayons; et comme le second de ces arcs égale aD = aF, on a donc

arc se = -^.aF

ai

c ^=^.aF,

d'où il résulte que les arcs êC et êE sont effectivement égaux en longueur absolue, d'après la proportion trouvée plus haut entre les quatre rayons.

821. Pour le sommet R de répicycloide primitive, le centre de courbure est donc à l'origine E de la développée ACE ; et comme la règle générale du II" 816 devient insuffisante pour obtenir ce centre particulier E, il est utile de savoir le trouver directement. Or la valeur de r rapportée ci-dessus montre que si l'on décrit sur OR comme diamètre une demi-circonférence, elle coupera le cercle primitif du rayon OA en un point G tel que la perpendiculaire GE fournira le point cherché E.

822. On doit remarquer que l'épicycloide est une courbe rectifiable; car puisqu'un arc d'une développée est toujours égal à la différence des rayons de courbure qui aboutissent à ses extrémités, il en résulte que l'arc xVG égale la droite CaM. La demi-branche ACE aura pour longueur EB = 2r' -+■ 2R'; et si

on veut l'exprimer au moyen des seuls éléments de cette épicycloide, il suffira de substituer ici la valeur de R' en fonction de r et r' .

Pl. 65, 825. Enveloppe d'un cercle. Soient O le cercle fixe, O' le cercle mobile qui, FiG. 10. gjj roulant sur l'autre, entraîne avec lui un petit cercle amb dont le centre M est placé sur la circonférence O'. Ce point M a décrit l'épicycloïde AM; et pour obtenir l'enveloppe sm, il faut, suivant la règle du n° 8H , mener de chaque point de contact a, une normale à l'enveloppée amb, c'est-à-dire tirer la droite aM. Cette dernière rencontre l'enveloppée en deux points m et m'; donc il y aura ici deux enveloppes, l'une intérieure sm, l'autre extérieure s'm', lesquelles toucheront l'enveloppée amb aux points m et m'. Ces deux enveloppes auront les mêmes centres de courbure C et la même développée ACE que l'épicycloïde AM; mais leurs rayons de courbure seront tous plus petits ou tous plus grands que ceux de cette dernière ligne, de la quantité constante Mm = r; de sorte que ces trois courbes seront équidistantes partout, dans le sens de leurs normales communes.

824, Chacune de ces enveloppes présente un rebroussement à l'endroit où elle vient rencontrer la développée ACE. Pour déterminer le point s, il suffit d'observer qu'alors le rayon de courbure de l'épicycloïde devient égal à Mm = r, et que la portion de normale désignée par p au n° 813, est ici la corde aM du cercle mobile; si donc, dans la formule (A) de ce numéro, on pose

p = r, (5' = 0, p=:2R'cos(p, on en déduira aisément

ce qui montre qu'en prenant sur la circonférence O , à partir du point A, un arc égal à celui qui, dans le cercle O', a pour corde la valeur que nous venons de trouver pour/:?, on obtiendra le point de contact a' qui répond au rebroussement cherché £; et dès lors ce dernier point se construira facilement, comme on l'a fait pour le centre G au moyen de a.

Au lieu d'appliquer la formule (A) à l'épicycloïde AM, on aurait pu l'appliquer directement à l'enveloppe em dont le rayon de courbure devient nul pour le point cherché s ; alors il aurait fallu poser

p = o, p' = r, p -ir r = p' = 2R' cos (p y.