CHAPITRE V. — DES ENGRENAGES CONIQUES

situation relative que s'ils avaient tourné autour de leurs axes immobiles, et de manière à faire parcourir des arcs égaux par deux points quelconques des circonférences A'O' et A'o'.

883. D'après ce principe, la solution la plus simple s'obtiendra en for- FiG. 1 mant : i ° la dent de la petite roue avec un plan mené par l'axe Z'o', et qui reçoit le nom àe flanc ; 2** la dent de la grande roue, avec une surface conique qui soit constamment tangente à ce flanc, dans toutes les positions qu'il occupera pendant le roulement du cône primitif Z'AV ; et l'on va voir que ce cône, enveloppe du flanc, a pour base une épicycloide sphérique.

Dans le plan du cercle primitif dont le rayon est A'o' ( plan que nous appellerons le plan auxiliaire de projection, et qui est rabattu ici avec ce cercle suivant A'Ge'), traçons une circonférence A'Fo' qui ait pour diamètre le rayon A'o', et faisons-la rouler successivement; 1° sur le cercle primitif du rayon O'A', en conservant toujours entre leurs plans l'inclinaison marquée par l'angle o'A'X ; 1^ dans l'intérieur et dans le plan du cercle primitif qui a pour rayon o'A'. Pendant le premier mouvement de rotation , un point quelconque de la circonférence mobile, par exemple celui qui est rabattu en m sur le plan horizontal , décrira une épicycloïde sphérique dont nous savons trouver la projection horizontale DM (n° 482), et dont le cône générateur A'S'o' s'obtient en élevant par le centre w' la perpendiculaire w'S' sur le plan du cercle mobile: de sorte que cette épicycloïde est située tout entière sur la sphère décrite avec le rayon S'A'; d'ailleui-s, si l'on rabat le point ( M , M') en F sur le plan auxiliaire, on sait (n° 470) que la droite projetée suivant (A'M, A'M'), et qui a pour vraie position A'F dans le plan auxiliaire , se trouve être une normale de l'épicycloïde au point (M, M'). D'un autre côté, pendant la rotation du cercle A'Fo' sur A'Ge', le même point générateur (M, M') ou F décrira une épicycloïde rectiligne ( n*' 475 ) qui sera précisément la droite o'FG. Cela posé, si l'on conduit un plan par cette droite o'FG et par l'axe Z'o', je dis que ce plan méridien sera tangent au cône qui aurait pour sommet le point Z' et pour base l'épicycloïde projetée sur DM. En effet, si l'on observe que le plan méridien en question a pour trace verticale Z'o'X, et pour trace sur le plan auxiliaire la ligne o'F elle-même, on reconnaîtra aisément que ce plan est perpendiculaire sur la droite rabattue suivant A' F, et projetée suivant (A'M, A'M'); or, puisque cette droite est normale à l'épicycloïde, il est certain que le plan méridien Z'o' F contient la tangente de cette courbe au point (M, M'); et comme il passe aussi par le sommet Z' du cône épicy-

4i8 LIVRE IX. — ADDITIONS.

cloïdal , il sera bien tangent à cette surface , tout le long de la génératrice qui réunira le sommet U avec le point F relevé en (M, M').

D'ailleurs , ce contact continuera de subsister le long d'une génératrice variable sur ce cône épicycloïdal , pendant que le cône primitif ZV A' roulera sur le cône Z'O'A' ; car, pour toutes les positions du point F sur le petit

cercle, les deux cordes A'F et o'F, A'Fj eto'Fj, se trouveront toujours

perpendiculaires l'une à Tautre. Donc le plan ZVF est bien propre à former le flanc d'une dent de îa roue TJd hl^ puisqu'il sera touché constamment et conduit par la dent que termine le cône épicycloïdal [Z', DM], de la même manière que si le cône primitif Z'o'A' roulait, sans glisser, sur l'autre cône Z'O'A' : ce qui remplit bien la condition du n** 882. FiG. I. 884. Il reste à trouver l'étendue précise que doit avoir le flanc pour correspondre à un arc limité DM de l'épicycloïde. A cet effet , rabattons le flanc Z'o'F sur le plan vertical , autour de l'axe TJo' : dans ce mouvement , le point F décrira lare de cercle F/ dont le centre est en o'; et la droite Z'f sera le rabattement de la génératrice de contact qui aboutit au point ( M , M' ). Mais, à l'époque où le flanc passait par l'origine D de répicycloïde, il touchait le cône épicycloïdal suivant la génératrice projetée sur O'D, laquelle se rabattra évidemment sur Z'A'. Donc l'angle A' Zy mesure en vraie grandeur sur le flanc , l'espace angulaire qui a été conduit et touché par la dent épicycloïdale, pendant que le flanc a roulé depuis le point D jusqu'en (M, M'). Ce sera donc à cette partie angulaire A' Z'f qu'il faudra restreindre l'exécution du flanc, si la dent est réduite à la portion de cône qui correspond à lare DM. .

885. Mais ce procédé ne serait pas d'une application commode dans l'épure générale qui va suivre , attendu qu'alors nous ne connaîtrons immédiatement que la projection horizontale M de l'extrémité de l'arc DM, avec la sphère Z'A'P'o' sur laquelle est située l'épicycloïde. Dans ce cas, il faudra rabattre le point M en R, projeter ce dernier en P' sur le grand cercle de la sphère, et abaisser sur l'axe Z'O' la perpendiculaire P'K' qui représentera le parédlèle sur lequel doit être situé le point de l'épicycloïde projeté en M. Alors ce parallèle P'K' coupera le cercle générateur qui a pour diamètre A'o', suivant une corde projetée au point M'; on rabattra cette corde suivant M' F qui fera connaître le point F, duquel on déduira/ et le reste comme ci-dessus. Pl. 69, 886. Tracé de l épure. Soient Z'O' et Z'o' les axes des deux roues, situés dans FiG. 2. le plan vertical de projection; soient aussi A'O' et A'o' les rayons des cercles primitifs que l'on déterminera comme il a été dit au n" 881 : ces deux cercles