CHAPITRE I. — NOTIONS PRÉLIMINAIRES

tourné autour de la ligne de terre XY pour se rabattre sur le plan horizontal, et ne former avec lui qu'un seul et même plan VZ' ; et c'est sur ce dernier que l'on trace effectivement toutes les constructions que Ton aurait dû faire sur les deux plans primitifs. Néanmoins, il ne faut pas perdre de vue que ce rabattement n'est admis que comme moyen d'exécution ; et, toutes les fois qu'on veut se rendre compte d'une opération par des considérations géométriques, on doit, par la pensée, relever le plan vertical, et se le figurer toujours dans une situation perpendiculaire au plan horizontal.

10. Après le rabattement des plans fixes, il existe entre les deux projections F/g. i. d'un même point de l'espace, une dépendance très-importante à observer. En

effet, les deux droites Aa et A! a qui projettent le point a en A et en A', sont perpendiculaires, l'une au plan horizontal, l'autre au plan vertical ; ainsi le plan AoA', mené par ces deux droites, se trouvera perpendiculaire aux deux plans de projection, et par suite à leur intersection XY; donc le plan AaA' coupera ceux-ci suivant des droites AF, A'F, perpendiculaires sur XY, et aboutissant au même point F de cette ligne de terre. Gela posé , quand le plan vertical XYZ tourne autour de XY, il entraîne avec lui la droite A'F qui , pendant ce mouvement , demeure perpendiculaire à la charnière XY; par conséquent, après le rabattement du plan vertical , la droite FA' prendra une position FA" qui sera évidemment le prolongement de FA. Ainsi les deux projections A et A" d'un même point de t espace y doivent toujours se trouver sur une même droite perpendiculaire à la j

ligne de tetre XY, lorsque les plans de projection sont rabattus l'un sur l'autre : de sorte que, si l'on prend à volonté une de ces projections, A par exemple, il faudra mener la droite indéfinie AF perpendiculaire à XY, et placer quelque part sur le prolongement de AF, la deuxième projection A".

11. Quant à la droite ad, si l'on rabat semblablement le point D' en D", la projection verticale A'D' deviendra en rabattement A" D" ; mais celle-ci n'aura, avec la projection horizontale AD, aucune dépendance nécessaire, de sorte que Ion peut tracer arbitrairement les lignes AD et A" D" pour représenter les deux projections d'une même droite dans l'espace. Il faut toutefois excepter le seul cas où AD serait perpendiculaire à la ligne de terre XY; alors la projection verticale devrait aussi être le prolongement de AD ; mais nous avons déjà dit (n° 6) que, dans ce cas tout particulier, deux projections de ce genre laisseraient la droite indéterminée de position.

12. Dorénavant nous placerons les plans de projection rabattus > de manière que la ligne de terre XY ait la position indiquée fig. 2 ; et comme alors la partie VXY de la feuille de dessin représentera en même temps la portion anté-

6 LfVRÈ I. — DES DROITES ET DES PLANS.

rieure du plan horizontal et la portion inférieure du plan vertical qui est venue se confondre avec la première , tandis que la partie XYZ comprendra la portion supérieure du plan vertical et la portion postérieure du plan horizontal, il ne suffira pas, pour déterminer graphiquement un point de l'espace, de donner indistinctement ses deux projections A et A'. Il faudra encore énoncer si le point A est la projection horizontale , ou bien s'il est la projection verticale ; car l'une et l'autre de ces hypothèses peuvent être admises, et elles produiraient une trèsgrande différence quant à la position réelle du point dans l'espace. Afin donc de rappeler aux yeux le plan auquel est relative chacune des projections, nous conviendrons de noter ordinairement , par des lettres sans accent , les projections horizontales des points ou des droites , et par des lettres accentuées les

Fi G. 2. projections verticales. Ainsi le point (A, A') désignera le point de l'espace qui est projeté horizontalement en A et verticalement en A' : le point (B, B') désignera celui qui a pour projection horizontale B et pour projection verticale B', et il en sera de même du point (G, C) ou du point (D, D'); mais le lecteur fera bien d'exercer son imagination à se représenter les positions diverses de ces points-là, au-dessus ou au-dessous, en avant ou en arrière du plan de projection, afin de pouvoir dorénavant reconnaître avec facilité dans lequel des quatre angles dièdres, formés par ces deux plans, se trouve situé un point défini par ses projections. '

FiG. 3. ^^- ï^^^ mêmes conventions devront être appliquées aux lignes; ainsi la droite (AB, A'B' ) sera celle qui a pour projection horizontale AB , et pour projection verticale A'B' : mais comme d'ailleurs une droite est déterminée de position par la connaissance de deux de ses points, nous allons donner le moyen général de trouver les traces d'une droite, c'est-à-dire les points où elle va rencontrer les deux plans de projection.

La trace verticale de la droite (AB, A'B') étant un point commun au plan vertical et à la droite , elle doit être projetée horizontalement sur la ligne de terre XY, et aussi sur la ligne AB indéfiniment prolongée; donc cette trace a pour projection horizontale le point C, et conséquemment elle sera placée quelque part sur la verticale GC : mais cette même trace doit être évidemment située sur la projection verticale A'B' indéfinie; donc elle est au point G'. De là résulte cette règle générale dont il faut se rendre l'application très-familière : prolongez la projection horizontale de la droite jusquà la ligne de terre , et à ce point élevez une verticale indéfinie qui, par sa rencontre avec la projection verticale, donnera la trace verticale de la droite proposée.

La trace horizontale de la même droite étant un point situé à la fois dans le