CHAPITRE II. — PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES, ETC. l

une droite parallèle à XY , mais la méthode précédente ne suffit plus pour obtenir cette intersection.

Dans ce cas, menons à volonté un plan sécant auxiliaire aêy'. Il coupera le plan [PQ, P'Q'] suivant la droite (CD, CD'), qui se construit par la méthode jjénérale, et le plan [TS, T'S'] suivant la droite (EF,E'F'); alors ces deux lignes fourniront, par leur rencontre, un point (M, M') qui sera évidemment commun aux deux plans [PQ, P'Q'], [TS-, T'S'], et par conséquent ceux-ci auront pour intersection la droite (AMB, A'M'B') menée parallèlement à XY.

On pourrait encore employer ici un plan de profil mené perpendiculairement pjQ^ q^ à XY; ce plan couperait les plans de projection primitifs suivant les deux droites XV et XZ, dont la dernière prendra évidemment la position XZ", lorsque l'on rabattra le profil sur le plan horizontal , autour de VX comme charnière. Gela posé , le plan de profil rencontrait les traces verticales des plans proposés aux points P' et T' qui deviennent en rabattement P" et T" ; donc PP" et TT" sont les traces de ces plans sur le profil rabattu suivant Z^XV; et comme ces traces se coupent en A", c'est là un point de l'intersection demandée, laquelle aura évidemment pour projection horizontale la droite AB parallèle à XY. D'ailleurs, si l'on relève le profil, le point A" se projettera verticalement en A'; et A'B' parallèle à XY sera la seconde projection de l'intersection des plans proposés.

Si les traces de ces plans, sans être parédlèles entre elles, passaient toutes quatre par le même point de la ligne de terre, il faudrait encore recourir à l'un des plans auxiliaires que nous venons d'employer; et nous engageons le lecteur à construire l'épure relative à ce cas particulier.

50. Construire le point d intersection dune droite (AB, A'B') avec un plan FiG. lo. donné PQR'.

Pour y parvenir, il faut mener par la droite donnée, et dans une direction quelconque, un plan sécant; construire l'intersection de celui-ci avec le plan PQR', et comme cette ligne passera nécessairement par le point cherché, ce point sera déterminé par la rencontre de cette intersection avec la droite donnée.

Adoptons d'abord pour plan sécant , le plan vertical qui projette la droite donnée suivant AB : cette dernière ligne sera elle-même la trace horizontale de ce plan , et sa trace verticale sera la droite GC perpendiculaire sur la ligne de terre. Gela posé, le plan AGG' coupe le plan donné PQR' suivant une droite qui est projetée (n° 27) sur G' D' et GD ; et comme cette intersection rencontre la droite donnée (A' B', AB) au point M' , c'est là la projection verticale du point

l6 LIVRE I. — DES DROITES ET DES PLANS.

demandé. La seconde projection de ce point n'est pas fournie immédiatement, parce qu'ici les deux droites que nous combinons sont projetées l'une et l'autre suivant ADBG ; mais on la déduira de M' en abaissant (n° 10) la perpendiculaire M'M sur la ligne de terre. Ainsi le point (M, M') est celui où la droite (AB, A'B') perce le plan PQR'.

On peut aussi employer pour plan sécant, le plan projetant de la droite sur le plan vertical, lequel aura pour traces A'B' et B'h perpendiculaire à XY. Ce plan auxiliaire A'B'F coupera PQR' suivant la droite (FG, B'G'), qui, par sa rencontre avec AB, devra donner le même point M déjà obtenu par la première construction ; ainsi les deux procédés employés simultanément se serviront de vérification.

Observons ici que le plan donné PQR' est une grandeur principale (n" 15) qui existe réellement, et qui rend'invisiblela portion de la droite (AB, A'B') située au-dessous du point de section ; c'est pourquoi la partie (MB, M'B')a été ponctuée. Quant au prolongement BG , il n'est regardé que comme une ligne N auxiliaire relative au plan sécant qui sert de moyen de solution.

51. Quoique les deux procédés employés n" 50 soient les plus commodes, il sera bon, pour nous exercer à la combinaison des plans avec les droites, de résoudre encore le même problème en nous servant d un plan sécant quelconque : toutefois, comme ce plan devra renfermer la droite donnée (AB, A'B')

FiG. II. <ioDt les traces sont B et G', il faudra faire passer par ces points les traces du plan sécant que nous adopterons. Menons donc par le point B la droite arbitraire SBT, et par les points T et G' la droite G' TV; ce seront là les traces d'un plan auxiliaire qui contiendra la ligne (AB, A'.B'). Gela posé, les plans STV et PQR' se coupent (n° 27) suivant la ligne (SV, S'V) ; et comme celle-ci rencontre (AB, A'B') en (M, M'), ce point est celui.où la droite donnée perce le plan PQR' : mais il faudra s'assurer, pour vérifier les constructions, que la droite MM' qui réunit ces deux projections, est exactement perpendiculaire (n° 10) sur la ligne de terre.

52. Par un point donné conduire une droite qui rencontre deux droites données de position.

Nous indiquerons seulement la solution de ce problème, que nous proposons ici au lecteur comme un exercice propre à le familiariser avec les méthodes précédentes. Par le point donné et la première droite on conduira un premier plan, puis un second par le même point et la seconde droite; alors, en ch€rchant l'intersection de ces deux plans , on obtiendra une droite qui satisfera évidemment aux conditions énoncées.