CHAPITRE II. — PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES, ETC. I

On peut aussi n'employer que le premier des plans dont nous venons de parler, puis chercher (n" 30) le point où il coupe la seconde droite; alors, en joignant ce dernier point avec le point donné, on obtiendra une droite qui résoudra le problème.

Il n'y aura en général qu'une solution , à moins que les deux droites proposées ne se trouvent dans un même plan avec le point donné.

33. Théorème. Lorsqu'une droite (AB, A'B') est perpendiculaire à un plan FiG. 12 PQR', les projections de cette ligne sont respectivement perpendiculaires sur les traces

du plan.

En effet, le plan qui projette la droite suivant AB est, par sa définition, perpendiculaire au plan horizontal : il Test aussi au plan donné PQR' , puisqu'il passe par une droite qui est supposée perpendiculaire à ce dernier ; donc ce plan projetant est perpendiculaire à la fois sur les deux autres , et par suite à leur intersection qui est la trace horizontale PQ; par conséquent, cette trace sera elle-même perpendiculaire sur la projection AB, qui se trouve dans le plan projetant. On démontrerait, d'une manière toute semblable, que la trace verticale R'Q est perpendiculaire sur la projection A'B'.

Réciproquement, si les deux projections AB e( A'B' d'une droite sont respectivement perpendiculaires aux traces PQ et QR' dun plan, ce plan et la droite sont perpendiculaires [un sur C autre. En effet, le plan projetant qui a pour trace AB est évidemment perpendiculaire sur la droite PQ, et par suite au plan PQR' qui contient cette ligne : de même , le plan projetant qui a pour trace A'B' est perpendiculaire à la droite QR' , et par suite au plan PQR'. Donc ce dernier se trouve perpendiculaire à la fois sur les deux plans projetants ; et dès lors il sera aussi perpendiculaire sur leur intersection qui n'est autre chose que la droite donnée dans l'espace.

34. Observons toutefois que ce théorème ne serait plus vrai , s'il s'agissait de projections obliques {n° 8); et d'ailleurs il faut se garder de croire qu'une relation semblable existe entre deux droites qui sont perpendiculaires entre elles ; car leurs projections orthogonales, sur un même plan, ne formeront pas un angle droit, à moins que l'une des lignes proposées ne se trouve parallèle au plan de projection.

55. Trouver la plus courte distance dun point (A, A') à un plan donné PQR'. pjg On abaissera d'abord du point (A, A') une perpendiculaire indéfinie sur le plan, en menant (n° 33) les projections AB et A'B' respectivement perpendiculaires sur les traces PQ etQR'; puis, on cherchera le point (M, M') où cette droite rencontre le plan, ce qui s'exécutera comme au n° 30, dont tous les rai-

l8 LIVRE I. — DES DROITES ET DES PLANS.

sonnements s'appliquent à la figure actuelle où nous avons d'ailleurs conservé les mêmes notations. Alors AM et A' M' seront évidemment les projections de la plus courte distance demandée; et la grandeur absolue de cette distance s'obtiendra (n° 17) en menant l'horizontale HM'M" égale à AM, et tirant la droite A' M" qui sera la vraie distance du point au plan. FiG. i3. 36. Trouver la plus courte distance d'un point (G, G') à une droite donnée