AB,A'B

Menons d'abord par le point (G, G') un plan perpendiculaire à la droite proposée ; ses traces seront perpendiculaires (n° 33) aux projections AB et A'B'; et , pour déterminer un de leurs points , j'imaginerai dans ce plan une horizontale partant de (G, G'). Gette droite, qui sera nécessairement parallèle à la trace horizontale cherchée, aura pour projections GD perpendiculaire à AB, et G'D^ parallèle à XY; ainsi, elle ira percer le plan vertical en (D,D') : si donc je mène D'Q perpendiculaire sur A'B', et QP perpendiculaire sur AB, ce seront les traces du plan cherché. Gela posé , en construisant (n° 50) le point (M , M') où ce plan rencontre la droite (AB, A'B'), et en le joignant avec (G, G') , la ligne (GM, G 'M') sera évidemment contenue dans le plan D'QP, et dès-lors elle se trouvera perpendiculaire sur (AB,A'B'); par conséquent cette droite (GM, G'M') mesurera la plus courte distance demandée, dont la grandeur absolue G'M" se déduira des projections GM et G'M' par la règle générale exposée n** 17.

Dans cette épure , le plan D'QP n'est ni une donnée , ni un résultat du problème primitif; c'est seulement un moyen de parvenir à la solution cherchée, et par conséquent on devra marquer ses traces comme des lignes auxiliaires (n° 15). La même remarque s'applique à l<ijîg. 1 4 > dont nous allons donner l'explication.

57. Autre solution. Faisons passer un plan par le point (G, G') et par la droite FiG. I i. donnée (AB, A'B'); il suffira de joindre (G, G') avec (A, A'), et de chercher les traces verticales des deux droites (AB, A'B') et (AG, A'G') : alors B'D'Q et QA seront les traces du plan auxiliaire dont nous venons de parler. Gela posé , rabattons ce plan autour de sa trace horizontale AQ, et supposons qu'il entraîne avec lui la droite et le point donnés. Dans ce mouvement de révolution, le point (B,B') ne sortira pas du plan vertical BF perpendiculaire à la (Charnière AQ; d'ailleurs la distance B'Q de ce point au point fixe Q, restera invariable; par conséquent , si l'on décrit avec le rayon QB' un arc de cercle qui coupe BF en B", ce point sera le rabattement de (B, B'), et la droite proposée ainsi que la trace QB' se trouveront rabattues suivant AB" et QB". De même, en tirant