CHAPITRE II. — PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES, ETC. I

les perpendiculaires DD" et GG" sur la charnière AQ, on verra bien que la ligne (AGD, A'G'D') se rabat suivant AD", et que le point G se transporte en G". Alors , dans le plan horizontal où toutes les données sont maintenant rabattues, sans que leurs positions respectives aient changé , nous pourrons abaisser sur AB" la perpendiculaire G"M", et ce sera la plus courte distance cherchée dans sa véritable grandeur. Ce résultat est ordinairement le seul qui intéresse ; cependant, si l'on veut aussi fixer la position de la plus courte distance, il n'y a qu'à relever tout le système : le point M" se ramènera en M par une perpendiculaire sur la charnière AQ, et la projection verticale M' s'en déduira (n" 10); de sorte qu'enfin la distance en question sera projetée sur GM et G'M'.

38. Ce mode de solution serait indispensable, si l'on avait voulu trouver sur la droite (AB , A'B' ) wn point qui fût distant de (G , G') dune quantité donnée â. Gar, après avoir rabattu comme ci-dessus la droite et le point donnés suivant AB" et G", on décrirait avec un rayon G"N"= â un arc de cercle qui couperait AB"en N", et ce serait là le point demandé en rabattement : puis, en relevant tout le système autour de la charnière AQ, le point N" se ramènerait en N, et aurait pour ses deux projections N et N'. On sent bien qu'il y aura généralement une seconde solution, puisque l'arc décrit avec le rayon â coupera ordinairement la droite AB" en deux points N" et n".

39. Trouver les angles que forme un plan donné PQR' avec les deux plans de FiG. i5. projection.

On sait que , pour mesurer l'inclinaison de deux plans , il suffit de les couper par un troisième plan qui soit perpendiculaire à leur intersection, et que les deux droites tracées par ce plan sécant , forment entre elles un angle qui exprime l'inclinaison cherchée. D'après cela, coupons le plan PQR' et le plan horizontal par un plan qui soit perpendiculaire à la trace F Q. Ge plan sécant qui sera vertical, aura pour traces une ligne AD perpendiculaire à PQ, et la verticale DD' : par conséquent il coupera le plan donné suivant une droite qui , dans l'espace, réunirait le point A avec D', et serait l'hypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés AD et DD'. Si donc on fait tourner ce triangle autour de DD' pour le rabattre sur le plan vertical, il deviendra D'A"D et l'angle de même nom mesurera l'inclinaison du plan PQR' sur le plan horizontal.

Pour obtenir l'angle du plan PQR' avec le plan vertical, on les coupera par un plan GDB' perpendiculaire à la trace verticale QR', et cela fournira un triangle rectangle ayant pour côtés GD et DB' ; par conséquent ce triaugie ,

après avoir été rabattu autour de CD , deviendra DB"G dans lequel l'angle B " exprimera l'inclinaison demandée (*).

40. Par un point donné, mener un plan qui fasse un angle a avec le plan horizontal: et un angle ê avec le plan vertical.

FiG. 1 5. Observons d'abord que, dans le problème précédent , les deux plans sécants D'DA et B'DG devaient se couper eux-mêmes suivant une droite perpendiculaire au plan PQR', et qui mesurait la plus courte distance de ce plan au point D de la ligne de terre. D'ailleurs, comme cette perpendiculaire, rabattue tour à tour avec les deux triangles, se trouve évidemment représentée par les droites DF et Df menées à angle droit sur les hypoténuses, il s'ensuit que, quel que soit le plan PQR', on doit avoir la relation DF = Df. Gela posé, si , sans connaître le plan PQR' que nous supposerons avoir sur les plans fixes les inclinaisons a et ê , on construit à volonté sur la ligne de terre un triangle rectangle D'DA" dans lequel l'angle A" soit égal à a ; puis, qu'avec la perpendiculaire DF on décrive un arc de cercle, et qu'on lui mène une tangente B'f G qui fasse l'angle B" égal à ê; cette tangente (**) déterminera, par sa rencontre avec le prolongement de la verticale D'D, un point G de la trace du plan PQR'. Alors, en tirant la droite GQ tangente à l'arc de cercle décrit avec le rayon DA", puis joignant les points Q etD', on obtiendra les traces d'un plan GQD'qui aura sur les plans fixes les inclinaisons a et ê ; ensuite , pour résoudre le problème primitif, il restera à conduire par le point donné un plan parallèle à GQD' (n°25).

FiG. 16. ^l. Construire l'angle compris entre deux plans donnés PQR' et PSR'.

Il faut, comme nous l'avons dit précédemment, couper ces deux plans par

(*) Dans certains arts, on définit souvent un plan par sa trace horizontale PQ et par son inclinaison a sur le plan horizontal. Avec ces données, il est toujours facile de trouver sa trace verticale au moyen dix plan de profil AD perpendiculaire à PQ, et qui contient l'angle a; car, en rabattant AD suivant A"D et formant l'angle DA"D' = a, le côté A"D' prolongé ira couper la verticale DD' au point D' par lequel on doit mener la trace QD'R. Quelquefois même on évite d'employer le plan vertical de projection , et l'on rabat le profil autour de AD en formant l'angle DA(5 =: a , ce qui représente d'une manière suffisamment claire la position du plan proposé, et permet d'en déduire les conséquences dont on a besoin. Au fond, le plan du profil tient lieu du plan vertical de projection.

(**) Comme il est évident que l'angle CD/=B'' = ê, on pourra, au lieu de mener cette tangente, construire le triangle rectangle CD/surla baseDF; puis, rapporter son hypoténuse de D en C sur le prolongement de la verticale D ' D,