CHAPITRE II. — PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES, ETC

un troisième qui soit perpendiculaire à leur intersection. Or cette droite, projetée (n° 27) suivant PR et P'R', est l'hypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés PR et RR', et qui , rabattu sur le plan horizontal , deviendra PRR". Si donc, par un point arbitraire A" de cette hypoténuse, je lui mène une pei-pendiculaire A"B, et qu'ensuite je relève le triangle R"RP dans la situation verticale PR , il est évident qu'alors la ligne A"B se trouvera dans le plan sécant que je dois mener perpendiculairement à l'intersection par ce point A"; pnis, comme A"B ira percer le plan horizontal en B, la droite CBD perpendiculaire à la projection PR, sera (n° 53) la trace horizontale de ce plan sécant. Maintenant, on doit voir que ce dernier plan coupera les plans proposés suivant deux droites partant du point A" relevé, et qui, aboutissant en G et D, formeront un triangle dont la base sera CD, et dont l'angle au sommet A" sera celui que l'on cherche ; ainsi , il ne s'agit plus que de construire ce triangle. Or sa hauteur est précisément A"B, puisque cette droite relevée se trouve dans le plan vertical RP qui est perpendiculaire sur la base CD ; d'ailleurs, si l'on rabat ce triangle autour de CD comme charnière , le sommet A" ne sortira pas du plan vertical PR perpendiculaire à cette charnière : donc , en portant sur PR la distance BA = BA", on obtiendra CAD pour le triangle demandé, et l'angle de même nom mesurei'a rincHuciison des plans PQR' et PSR'.

On aurait pu rabattre sur le plan vertical , l'intersection des plans proposés ; cette droite eût été représentée par R'P", et en lui menant une perpendiculaire A'B', dont le pied B' devrait être rapporté en B, on en aurait fait le même usage que ci-dessus.

42. Lorsque les plans proposés ont leurs traces parallèles sur un seul des FiG. 17. deux plans de projection, comme R'QP et R'ST, la construction précédente exige une légère modification qui rend même la solution plus simple; car on sait (n° 28) qu'alors l'intersection est la droite horizontale ( R'V, RV; parallèle aux traces horizontales. Par conséquent, si l'on mène un plan verticéd R'RG perpendiculaire à cette intersection , il coupera les plans proposés suivant deux droites qui formeront avec CD un triangle ayémt pour sonamet le point R', et pour hauteur la verticale R'R : de sorte qu'en rabattant ce triangle sur le plan horizontal autour de sa base CD, le sommet R' viendra en R", et l'angle CR"D sera la mesure de Vinclinaison des plans proposés.

Enfin, si les traces étaient toutes parallèles à la ligne de terre, comme dans la fig. 9, on couperait les plans donnés par le plan de profil ZXV déjà employé n° 29 ; et par le rabattement dont nous nous sommes servis dans ce numéro, on obtiendrait l'angle PA"T pour l'inclinaison des plans en question.

FiG. i8. 45. Trouver l'angle de deux droites données (AB, A'B') ef (BG, b'c').

On entend par l'angle de deux droites, qui souvent ne se rencontrent pas, l'angle que comprendraient entre elles deux droites respectivement parallèles aux premières, et qui seraient menées par un même point de l'espace : commençons donc par examiner si les lignes proposées se coupent. Or, si elles ont un point commun, on voit bien qu'il devra être projeté horizontalement en B et verticalement en b' : mais, pour que ces points-là fussent les projections d'un même point de l'espace, il faudrait (n" 10) que la droite B6' se trouvât perpendiculaire à la ligne de terre, condition qui n'est pas remplie ici; par conséquent les droites proposées ne se coupent pas. Alors, nous allons mener une parallèle à la ligne (BG, b'c') par un point quelconque de l'autre droite, et pour simplifier, nous choisirons le point qui est projeté en B et B'. Gette parallèle aura ainsi pour projection horizontale la droite BG déjà donnée, et pour projection verticale la ligne B'G' parallèle à b'c'; de sorte que le problème sera réduit à trouver l'angle formé par les deux droites (AB, A'B') et (BG, B'G'), que nous regarderons comme des données immédiates de la question. ' En construisant les traces horizontales A et G de ces droites, la ligne AC sera la base d'un triangle ayant pour sommet le point (B, B') où se coupent les droites proposées, et dont l'angle au sommet sera celui que l'on cherche. Or la hauteur de ce triangle est évidemment l'hypoténuse d'un triangle rectangle qui aurait pour base la perpendiculaire BH abaissée sur AG, et pour hauteur la verticale qui projette le sommet en B, laquelle est égale à B'K; par conséquent, si l'on prend KH"=BH, et que l'on tire B'H", cette droite sera la hauteur du triangle primitif. Maintenant, si l'on rabat ce dernier sur le plan horizontal autour de sa base AG, le sommet ne sortira pas du plan vertical HB perpendiculaire à cette base; donc, en portant la hauteur B'H" de H en B", le triangle cherché se trouvera rabattu suivant AB"G, et l'angle de même nom sera celui que formaient dans l'espace les deux droites ( AB, A'B') et (BG, B'G').

44. Lorsqu'une de ces droites , par exemple la seconde, sera parallèle au plan horizontal , le triangle dont nous nous sommes servis n'existera plus ; mais la trace horizontale du plan des deux droites proposées, qui était AG dans le cas général, deviendra alors une parallèle à BG menée par le point A; de sorte qu'en rabattant, comme ci-dessus, ce plan autour de sa trace, on obtiendra encore l'angle demandé.

Nous ne parlerons pas du cas où les droites seraient toutes deux parallèles au plan horizontal, puisque alors l'angle qu'elles formeraient dans l'espace serait égal à celui que comprendraient leurs projections.