CHAPITRE m. — RÉSOLUTION DE L'aJSGLE TRIÈDRE

vront se trouver égales y puisque l'une et l'autre expriment la hauteur du point unique de l'arête SA, qui est projeté en D.

Pour obtenir le troisième angle dièdre A , on mènera un plan sécant perpendiculaire à SA par le point de cette arête qui est projetc'- en D , et rabattu en D' d'une part, et en D" de l'autre. Ce plan coupera les faces latérales suivant des droites D'N, D"M, respectivement perpendiculaires à SA' et SA" ; et conséquemment son intei-section avec la face BSG sera la droite MN qui devra évidemment se trouver (n" 53) perpendiculaire sur la projection horizontale SA de la troisième arête. Si donc avec les trois lignes D"M , MN, ND', on construit le triangle PMN, l'angle au sommet P sera précisément la mesure de l'angle dièdre qui a pour arête SA.

Remarquons en outre que ce triangle , avant d'être rabattu autour de MN , avait son sommet P situé au point de l'arête SA qui est projeté en D. Mais puisque cette charnière MN est perpendiculaire , comme nous venons de le dire , au plan vertical SA , le point P n'aura pas dû sortir de ce plan ; et par conséquent il faudra qu'il se trouve rabattu sur le prolongement de la droite SDA , ce qui est une vérification essentielle à observer.

60. Les constructions précédentes sont pareillement applicables au cas où les trois angles a, S, y, ou bien quelques-uns d'entre eux, se trouvent obtus : seulement, pour que le problème soit possible, il faut toujours, i° que les trois angles a, ê, y fassent une somme moindre que quatre droits ; 2° qu'en outre le plus grand de ces angles soit moindre que la somme des deux autres. En effet, si ces conditions n'étaient pas remplies par les données de la question , il est facile de voir que les opérations graphiques fourniraient pour la construction des triangles FDG' et EDF", des hypoténuses plus courtes que les bases : tandis que ces triangles seront possibles, si les deux conditions ci-dessus énoncées sont satisfaites, et par suite l'angle solide pourra être composé avec les données du problème.

61. Réduire un angle à f horizon. Ce problème, qui est utile dans la levée des plans, a pour objet de trouver la projection horizontale d'un angle a qui est connu de grandeur , et dont les côtés font , avec la verticale abaissée du sommet, des angles donnés ê et y. Or, si l'on imagine un angle solide ayant pour ses trois arêtes, cette verticale et les deux côtés de l'angle proposé a, on connaîtra les faces a, ê, y de cet angle solide, et la projection demandée sera évidemment l'angle rectiligne qui mesure l'angle dièdre A compris entre les deux, faces verticales ; par conséquent ce problème rentre dans celui du numéro 59, et pourrait être résola de la même manière, si la supposition qu'une des arêtes

est ici verticale, ne permettait de donner à la figure une disposition plus commode.

FiG. 25. Dans un plan quelconque, formons avec la verticale SA les angles ASB = 7, ASC =ê; puis, en laissant invariable la grandeur de ce dernier, faisons-le tourner autour de SA jusqu'à ce que le côté mobile SG forme, danslespace, un angle a avec le côté fixe SB : par-là nous obtiendrons l'angle donné, exactement dans la situation que lui assigne le problème, et ensuite il nous sera facile d'en déduire la projection horizontale. Or, dans ce mouvement de révolution autour de SA , le pied G du côté mobile décrira un arc de cercle GG' dont le centre sera en A ; et il s'arrêtera sur cet arc en un point G', tel que sa distance au point fixe B sera évidemment la base d'un triangle qui aura pour côtés des droites égales à SB et SG, tandis que l'angle compris égalera a. Si donc on construit sur le plan vertical un angle BSG" = a , et que l'on prenne SG" = SG, la droite BG" sera la distance dont nous parlions; puis, en la rapportant par un arc de cercle de B en G' , on connaîtra la position G' où doit s'arrêter le pied du côté mobile SG, et par suite cette -droite se trouvera projetée horizontalement suivant AG'. D'ailleurs, le côté fixe SB étant projeté sur AB, on en conclura que l'angle a, dans l'espace, a pour projection horizontale BAG' ; ainsi ce dernier angle, qui peut être plus grand ou plus petit que a, est celui qu'il faut employer sur une carte topographique où tous les objets doivent être représentés par leurs projections.

62. Deuxième cas. Etant données deux faces a, ê d'un angle solide, avec l'angle dièdre compris G , trouver les autres parties.

FiG. 26. Soient BSG = a, GSA' = ê les deux faces données rabattues sur le plan horizontal; en faisant tourner la seconde autour de SG jusqu'à ce qu'elle forme avec BSG l'angle dièdre G, on obtiendra deux faces de l'angle solide dans leur véritable situation. Or, pendant ce mouvement de rotation , un point D' pris à volonté sur l'arête mobile, ne sortira pas du plan vertical D'FM perpendiculaire à la charnière ; si donc, dans ce plan rabattu autour de FM, on construit l'angle MFK = G , et que Ton prenne la distance FG' = FD', il est évident que le point D' viendra se placer en G', et par suite qu'il sera projeté horizontalement en D , lorsque la face mobile ASG aura pris l'mclinaison assignée par la question. Maintenant , le point de l'espace qui a pour projections D et G', appartient à la troisième face inconnue, et si on la conçoit rabattue autour de SB, le point (D, G') ne sortira pas du plan vertical DED" perpendiculaire à cette charnière ; donc , comme ce point doit aussi rester à une distance du sommet égale à SD', si l'on décrit avec cette distance un arc de cercle,