CHAPITRE m. —RÉSOLUTION DE l' ANGLE TRIÈDRE. 3S

il coupera la droite indéfinie DE au point D" qui déterminera l'angle D"SB pour la troisième face inconnue. Alors les trois faces de l'angle solide étant trouvées, on rentrera dans le problème du n° 59, qui a enseigné à construire les angles dièdres.

On pouvait aussi employer la distance MG' qui égale évidemment MD", pour décrire un arc de cercle dont la rencontre avec le premier aui-ait déterminé le point D".

65. Troisième cas. Etant données deux faces a , ê dun angle solide avec t angle dièdre B opposé à [une délies, trouver les autres parties.

Soient encore BSG = a, CSA'=ê les deux faces données rabattues sur le FiG. 27. plan horizontal. Si , dans un plan vertical EF perpendiculaire sur Tarête SB , on construit l'angle REF=B, et que Ion imagine un plan indéfini passant par SE et ER, ce plan indiquera la position de la face inconnue; de sorte que, pour composer l'angle solide, il ne restera plus qu'à faire tourner la face A'SC autour de CS, jusqu'à ce que l'arête SA' vienne se placer dans le plan SER. Pendant ce mouvement de rotation , le point D ' de l'arête mobile ne sortira pas du plan vertical D'FM, mené par le point F perpendiculairement à la charnière CS ; et par conséquent ce point Tï s'arrêtera sur l'intersection du plan vertical FM avec le plan indéfini SER. Or cette intersection est une droite qui part de M , et vient rencontrer la verticale F au même point évidemment que la droite ER relevée ; si donc , pour trouver cette hauteur, on tire la ligne FR perpendiculaire à EF, puis qu'on reporte FR à angle droit sur FM de F en R', la ligne MR' sera l'intersection dont nous avons parlé, et c'est sur cette droite que devra s'arrêter le point D' de l'arête mobile SA'. Ainsi, en décrivant avec le rayon D'F un arc de cercle qui coupe MR' en G, on obtiendra, dans le plan vertical FM, la position G d'un point de la troisième arête SA, et il serait facile d'en déduire la projection horizontale D.

Maintenant observons que ce point G, situé dans le plan vertical MF, appartient à la face inconnue j et que quand on rabattra celle-ci autour de l'arête SB, il ne changera pas de distances par rapport aux points M et S situés sur la charnière. Or ces distances sont évidemment MG et SD' ; si donc , avec ces droites pour rayons , on décrit deux arcs de cercle , leur rencontre D" déterminera le rabattement du point G (*), et par suite la face inconnue

(*) On pouvait aussi trouver le rabattement D", en combinant un de ces deux arcs avec la droite DD" menée perpendiculairement à la charnière SB, par la projection horizontale D du point G.

sera D"SB. Une fois cette face trouvée, on retombera sur le cas du n° 59, et l'on saura construire les autres parties de l'angle solide.

64. Remarquons que l'arc de cercle décrit avec le rayon FD', coupera généralement la droite MR' en deux points G et ^ : de sorte que la face A' SG, en tournant autour de GS, pourra prendre deux positions dans chacune desquelles l'arête SA' se trouvera située dans le plan indéfini SER ou SMR'; pour l'une de ces positions, le point D' s'arrête en G, et pour l'autre il vient en g. Par conséquent , si l'on rabat ce dernier point autour de SB , comme on l'a fait pour le premier, il se transportera en d'\ et of'SB sera alors la grandeur de la troisième face inconnue. 11 y aura donc deux angles solides différents que l'on pourra composer avec les données a , ê et B ; résultat tout à fait analogue avec ce qui arrive dans la construction d'un triangle rectiligne où l'on connaît deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux.

Il n'est pas besoin d'ajouter que si l'arc décrit avec le rayon FD' ne faisait que toucher la droite MR', il n'y aurait plus qu'une solution; et que le problème serait impossible, si cet arc ne rencontrait pas du tout la droite MR'. Fi G. 27. 65. Cependant il importe d'observer que la deuxième solution devrait être rejetée , si le point g tombait sur MR' au-dessous de MF, c'est-à-dire au-dessous du plan horizontal (nous supposons ici qu'on aura soin de construire l'angle donné B, aigu ou obtus, toujours au-dessus du plan de projection). En effet, l'angle solide qu'on obtiendrait alors , se trouverait évidemment composé avec les faces a , ê, et un angle dièdre supplémentaire de B : or, comme ce dernier est ici donné graphiquement , et non pas par la valeur de son sinus ^ il ne peut y avoir d'ambiguité sur sa grandeur, et par conséquent il n'est pas permis d'adopter indifféremment B ou 180° — B.

Par la même raison , il faudrait rejeter les deux solutions et déclarer le problème impossible avec les données actuelles , si les points G et ^ tombaient l'un et l'autre au-dessous de l'horizontale MF; ce qui au reste ne pourra arriver que quand l'angle dièdre B sera obtus.

Remarque. Quoique les trois derniers problèmes du n° 55 puissent être ramenés aux trois premiei's par le moyen d'un angle solide supplémentaire , ainsi que nous l'avons montré au n° 58 , il est intéressant et quelquefois utile d'en avoir une solution directe. Nous allons donc l'exposer; en prévenant toutefois les lecteurs qui commencent à étudier la Géométrie descriptive , que cette solution suppose la connaissance des plans tangents aux surfaces courbes; ainsi ils feront bien de différer la lecture de ce qui suit, jusqu'à ce qu'ils aient étudié au moins les chapitres II et III du Livre second.