CHAPITRE III. — RÉSOLUTION DE LAJNGLE TRIÈDRE

66. Quatrième cas. Étant donnés deux angles dièdres A e< B d^un angle solide ^ ai^ec une des faces opposées ë, trouuer les autres parties.

Adoptons pour plan horizontal celui de la face inconnue y, et traçons-y le rabattement PL- 8, ASC" de la face donnée ê; ensuite, perpendiculairement à l'arête SA , menons le plan ''^^- ^ • vertical D"EF, sur lequel nous tracerons l'angle D'ED égal au dièdre A donné par la question. Alors, si nous faisons tourner la face ASC" autour de AS jusqu'à ce qu'elle vienne se placer dans le plan SED', le point D" se transportera en D' qui se projette horizontalement en D; et pour composer l'angle solide, il n'y aura plus qu'à conduire par l'arête (SD, ED) un plan qui forme avec le plan horizontal un angle égal au dièdre B. A cet effet, dans le plan vertical EF, tirons la droite D'F qui fasse l'angle D'FD = B5 puis, après avoir fait tourner celte droite autour de la verticale D'D pour engendrer un cône de révolution dont la base sera le cercle DF, menons à ce cône un plan tangent qui passe par l'arête (SD, ED). Ce plan aura pour trace la droite SGB tirée du point S tangentiellement au cercle du rayon DF, laquelle sera la troisième arête de l'angle solide en question , et déterminera la face ASB= y. Quant à la troisième face a. qui est rabattue ici suivant BSC*, on verra aisément qu'elle se construit en prenant sur la perpendiculaire DG une longueur GD'" égale à la génératrice D'F du cône auquel cette face est tangente.

67. Cinquième cas. Étant donnés deux angles dièdres A et B d'un angle solide, ai^ec la face comprise y, trouver les autres parties .

Après avoir tracé sur le plan horizontal un angle ASB= y pour représenter la face Pl. 8, connue, menons un plan vertical EF perpendiculaire à l'arête SA, et traçons-y FiG. 2. l'angle F'EF égal au dièdre A 5 semblablement , dans un plan perpendiculaire à l'arête SB, construisons l'angle G'KG = B. Alors les plans SEF' et SKG seront ceux des faces inconnues 5 et pour obtenir un second point D de la projection SDC de leur intersection, il suffira de les couper par un même plan horizontal quelconque. On prendra donc des hauteurs égales EH' = KL' 5 puis en menant des droites H'F', L'G', respectivement parallèles aux deux lignes de terre EF, KG, on obtiendra les deux sections horizontales F'D, G'D, qui par leur rencontre feront connaître le point cherché D. Enfin, pour rabattre les deux faces qui se coupent suivant SDC, on prendra les perpendiculaires MD"=EF', ND'^:=KG', et ces deux faces auront évidemment pour vraies grandeiu-s ASC" et BSC*.

68. Sixième cas. Étant donnés les trois angles dièdres A, B, C, d'un angle solide, trouver les trois faces.

Sur le plan horizontal que nous supposons coïncider avec celui de la face incon- Pl. 8, nue y, marquons la droite arbitraire DA pour représenter une des arêtes de cette FiG. 3. face 5 et sur un plan vertical perpendiculaire à DA , traçons l'angle Y'AX égal au dièdre donné A : le plan Y' AD sera ainsi celui qui contient la face ê. Ensuite, d'im point T' choisi arbitrairement dans l'intérieur de l'angle Y'AX, abaissons sur les faces y et g les perpendiculaires T'O, TT, et traçons les angles T'FO=B, T'G r=C ;

alors, si nous faisons tourner ces angles autour des axes T'O et TT, ils produiront deux cônes de révolution auxquels la face inconnue a devra évidemment être tangente -, de sorte que la question est réduite à mener un plan qui touche à la fois ces deux cônes , dont le sommet commun est en T' et dont les bases sont les cercles décrits avec les rayons OF et l'G'. La solution directe consisterait à chercher la trace horizontale du second cône l'T'G', et à mener une tangente commune à cette courbe et au cercle du rayon OF -, maïs on peut éviter le tracé approximatif d'une courbe par points , en recourant aux considérations suivantes.

Inscrivons une sphère au cône T'OF le long du cercle horizontal MFN: le centre w' de cette sphère s'obtiendra en tirant la droite Fw' normale au cône dont il s'agit; et pour avoir une seconde sphère, égale à celle-là , et inscrite pareillement dans l'autre cône T TG', il faudra mener à angle droit sur T'G' la ligne T'H'=(«)'F, et achever le parallélogramme T'H'K'^' qui fournira le centre ip' et le rayon ip'K'de cette nouvelle sphère. Cela posé, imaginons un cylindre qui soit circonscrit à ces deux sphères : il les touchera suivant deux grands cercles perpendiculaires à son axe qui est la droite «pw; or le plan qui touchait les deux cônes à la fois, se trouvait nécessairement tangent aux deux sphères -, donc il est aussi tangent au cylindre actuel , et la question se réduit à mener par le point T' un plan qui soit tangent à cette surface unique.

La méthode directe serait donc de tracer, dans le plan w'V perpendiculaire à l'axe 9'w', un cercle avec un rayon égal à w'F; puis, de mener à ce cercle une tangente par le point où aboutirait sur ce plan la parallèle à l'axe menée par le point T'. Tout cela pourrait s'exécuter en rabattement sur le plan horizontal ; mais il y a encore un moyen bien plus court. En effet, le plan cherché devant être tangent à la fois au cylindre, à la sphère w' et au cône T'FO, son point de contact avec la sphère doit être situé, 1° sur le cercle horizontal MFN qui est la ligne de contact de La sphère et du cône ; 2° sur le grand cercle contenu dans le plan w' V, et qui est la ligne de contact de la sphère avec le cylindre. Or ces deux cercles se coupent évidemment suivant une corde qui est projetée verticalement au point M', et représentée en vraie position par MM'N sur le plan horizontal-, donc M est le point de contact et BMS la trace horizontale du plan tangent demandé : sa trace verticale qui doit passer par le sommet T', sera dès lors BT'C.

Maintenant que nous connaissons la grandeur ASB^;:"/ de la face horizontale et la projection SC de l'arête suivant laquelle se coupent les deux plans SAC, SBC, il n'y a plus qu'à rabattre ces deux dei^niers autour des charnières AS, BS, et l'on obtiendra aisément les deux faces ASC'=6, BSC"'=a. On observera que l'arête rabattue suivant SC devra être tangente au cercle décrit du point I" avec un rayon égal à l'G ; car ce cercle est la base du second cône T'I'G' auquel le plan SBC, est aussi tangent.