CHAPITRE PREMIER

De la génération des surfaces , et de leur représentation graphique.

69. Pour représenter graphiquement une surface, nous avons annoncé (n° 7) qu'il ne faudrait pas, comme pour les lignes,, chercher à construire sur deux plans fixes les projections des différents points de ce lieu géométrique; en effet, attendu que sur une surface, et à partir d'un point donné, on peut cheminer dans une infinité de directions, le moyen précédent n'aurait d'autre résultat que de charger les plans fixes d'une multitude de points et de lignes dont on n'apercevrait pas la liaison, et dont l'ensemble surtout ne peindrait nullement, à l'œil du spectateur, la forme de la surface, sa courbure plus ou moins prononcée , et le nombre de ses nappes. Nous emploierons donc un autre procédé (n" 95), déduit de la nature même de cette grandeur, dont il faut avant tout établir une définition précise.

70. Par le mot surface on ne doit pas entendre simplement une série de points ou de courbes aussi rapprochés qu'on voudra les uns des autres, mais n'ayant entre eux aucune dépendance fixe ; il faut encore que ces points ou ces lignes soient soumis à quelque liaison commune et continue, dont l'expression analytique ne serait autre chose que l'équation de la surface, et dont la définition géométrique doit être énoncée ainsi :

Une surface est le lieu de toutes les positions que prend successivement, dans f espace, une ligne mobile qui change de situation , et même déforme, d après une loi déterminée et continue.

La ligne mobile se nomme la génératrice; et par ces mots, une loi déterminée, il faut entendre des conditions telles que , pour chaque point donné de l'espace, elles ne laissent plus rien d'arbitraire dans la forme ni dans la position de la génératrice. Or, le moyen le plus commode ordinairement pour exprimer (du moins en partie) la loi de ce mouvement, c'est d'assigner une ou plusieurs

lignes fixes, nommées directrices , sur lesquelles devra constamment s'appuyer la génératrice dans toutes ses positions : de sorte que pour définir complètement une surface particulière , il faut indiquer la nature de la génératrice, la manière dont elle se meut, et les directrices sur lesquelles elle doit glisser pendant son mouvement (*). Lorsqu'on change seulement ces directrices, on obtient diverses surfaces qui appartiennent toutes à une même famille ; et d'ailleurs on doit sentir que chaque surface individuelle est susceptible d'une infinité de modes de génération. Nous allons en citer plusieurs exemples, tant pour éclaircir la définition générale , que pour acquérir dès à présent la connaissance des lieux géométriques dont nous devons faire usage le plus fréquemment. FiG. 28. 71 . UNE SURFACE CONIQUE est le lieu de toutes les positions que prend une droite mobile SA, assujettie à passer toujours par un point fixe S, et à s appuyer constamment sur une courbe donnée ABC, laquelle peut être gauche ou à double courbure (voyez n° 7). D'après cette définition, la droite mobile SA est une génératrice constante de forme, et variable de position seulement, tandis que le point fixe et la courbe ABC sont les directrices; d'ailleurs, cette ligne SA devant être regardée comme indéfiniment prolongée de part et d'autre du point S qu'on nomme le sommet ou le centre, elle engendrera les deux nappes opposées

(*) C'est effectivement par la traduction en analyse de ce mode de génération, ou d'une propriété équivalente, que l'on obtient toujours l'équation de la surface. (Voyez V Analyse appliquée à la géométrie des trois dimensions , chap. XIV,) Réciproquement, lorsqu'un lieu géométrique est défini immédiatement par l'équation F (j:, j, z) =: o, si l'on coupe cette surface par divers plans, horizontaux par exemple, on obtient les courbes

(l) z = a, et F(j;,j, a) =0(2) .

z := a', et F {x fj, a.') = o z = a." , et F {x , y, cl") =0

dont une quelconque est ce que devient la première quand on attribue à la constante a les valeurs successives a', a."; par conséquent, ces diverses courbes sont les positions successives que prendrait la courbe (i) et (7) si on la faisait mouvoir dans des plans parallèles, en changeant d'ailleurs ses dimensions d'après une loi qui dépendrait de la manière dont la constante a entrera dans l'équation (2) : aussi, en éliminant ce paramètre entre (i) et (2), on retombe évidemment sur l'équation F (.r , /, z) = o , qui se trouve donc le lieu de toutes les positions de la première courbe mobile. Ajoutons d'ailleurs que, comme on peut adopter une infinité de directions pour les plans sécants parallèles, ou même employer d'autres surfaces sécantes, il doit exister pour chaque surface une infinité de modes de génération.