CHAPITRE I. — GÉNÉRATION DES SURFACES 3q

et indéfinies S ABC, Saêy. Si l'on substituait à la courbe ABC une autre directrice, en changeant même le sommet S, on obtiendrait diverses surfaces individuelles appartenant toutes à la famille des cônes.

72. Mais ces surfaces admettent bien d'autres modes de génération. En effet, si nous coupons le cône SABG par divers plans parallèles, nous obtiendrons des sections semblables A'B'C, A"B"G", c'est-à-dire des courbes où il existera des points O', O", tels que les rayons vecteurs respectivement parallèles, OA' et

0"A', O'B' et 0"B", O'D' et 0"D", auront entre eux un rapport constant :

cette proposition, vraie quelle que soit la directrice ABC, se démontre aisément par la théorie des lignes proportionnelles. Pour fixer les idées, nous admettrons que ABC soit une ellipse ayant pour ses demi-axes OA =«, OB = b; alors les autres sections A'B'C, A"B"G", supposées parallèles à cette base, seront aussi des ellipses dont les axes se trouveront parallèles à ceux de ABC, et tels que

Cela posé, si l'on fait mouvoir l'ellipse ABC de manière, i° que son centre parcoure la droite SO; 2" que ses axes restent parallèles à leurs positions primitives; 3° qu'ils décroissent ensemble, et proportionnellement aux distances SO, SO', SO'V--; alors, il est évident que cette ellipse mobile coïncidera successivement avec A'B'C, A"B"C",...., et deviendra ainsi, pour la surface conique proposée, une génératrice variable déforme et de position. Mais, pour réduire ces diverses conditions à un énoncé plus simple, il suffira de se rappeler qu'une courbe du second degré est déterminée , dans son plan , par la connaissance de cinq de ses points ; par conséquent, si l'on trace sur le cône cinq arêtes fixes SA, SB, se, SD, SE, on pourra dire que, pour engendrer la surface , il faut faire mouvoir l'ellipse variable ABC de manière que son plan demeure parallèle à lui-même, et qu'elle s'appuie constamment sur ces cinq droites regardées comme autant de directrices.

Enfin , puisqu'on serait libre d'adopter pour les plans sécants parallèles une direction quelconque, et que même on pourrait couper le cône par d'autres surfaces, telles que des sphères décrites du point O comme centre avec un rayon variable, il demeure évident qu'il existe une infinité de lignes planes ou à double courbure, que l'on peut adopter pour génératrices d'une même surface conicjue.

73. UNE SURFACE CYLINDRIQUE est le lieu des diverses positions que PiG. :ig.

4o LIVRE II. — DES SURFACES ET DES PLANS TANGENTS.

prend une droite mobile AA' qui glisse le long d'une courbe fixe ABC, en demeurant parallèle à une direction donnée. Mais ce premier mode de description , où la génératrice AA' est constante de forme, n'est pas le seul admissible; car, puisque toutes les sections parallèles au plan de ABC seraient ici des courbes évidemment identiques, on peut encore regarder la surface comme parcourue par la courbe ABC qui se mouvrait parallèlement à elle-même {*), en s appuyant toujours par le même point sur la droite AA', laquelle deviendrait alors une directrice de la courbe mobile ABC. En variant ensuite la direction des sections parallèles, on obtiendrait une infinité d'autres génératrices propres à décrire le même cylindre : au reste, ces surfaces peuvent être considérées comme un cas particulier des cônes; c'est celui où le sommet s'éloigne à l'infini.

74. Observons, en passant, que si la directrice du cône ou du cylindre était une droite, la surface se réduirait à un plan, lequel peut donc être défini comme le lieu des positions que prend une droite mobile assujettie , i° à glisser sur une droite fixe ; 2° à passer constamment par un point donné, ou bien à demeurer toujours parallèle à sa première position. FiG. 3o. 75. UNE SURFACE DE RÉVOLUTION est engendrée par une courbe quelconque GG'G" qui tourne autour d'une droite fixe DZ, de manière que chacun de ses points G décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe DZ, et dont le rayon est la plus courte distance GO de ce point au même axe. Observons que ces divers rayons GO, G'O', G"0", quoique tous perpendiculaires à DZ, ne seront point parallèles entre eux lorsque la génératrice GG'G" sera à double courbure; ou lorsque, étant plane, son plan ne renfermera pas l'axe DZ. D'ailleurs, les différents cercles GMA, G' M' A',.-., décrits par ces rayons, se nomment les parallèles de la surface.

76. Si par l'axe DZ, on mène des plans quelconques ZOA , ZOM, on obtiendra des sections AA'A", MM' M", que l'on nomme les méridiens ou plutôt les courbes méridiennes de la surface, et qui sont nécessairement identiques quant à leur forme. En effet, ces plans méridiens coupent les parallèles suivant des rayons qui comprennent des angles évidemment égaux AOM, A'O'M, A"0"M"; par conséquent, si l'on fait tourner le plan ZOM d'une quantité angulaire MOA,

(*) Une courbe est dite se vrouvoit parallèlement à elle-même, lorsque deux quelconques de ses cordes demeurent toujours parallèles à leurs directions primitives. Cette condition entraîne évidemment le parallélisme du plan de la courbe; mais cela exprime en outre que cette courbe ne tourne pas dans son plan mobile.