CHAPITRE I. — GÉNÉRATION DES SURFACES 4f

tous les rayons OM, O'M', O "M", coïncideront en même temps avec OA, O'A', 0"A", et les courbes méridiennes se confondront l'une avec l'autre.

77. Il résulte aussi de là que la méridienne AA'A", en tournant autour de DZ, parcourra toute la surface de révolution, et peut en être regardée comme une nouvelle génératrice qui remplacerait la courbe primitive GG'G". Cette dernière, en effet, sera distincte du méridien , lorsqu'elle n'aura pas tous ses points situés dans un même plan passant par DZ, comme on peut le remarquer dans la figure actuelle qui est censée construite en perspective sur le plan ZOBB"A"A ; c'est par suite de cette convention , que nous avons ponctué les parties des parallèles et de la courbe GG'G" qui sont derrière ce tableau. Au reste, on pourra toujours construire le méridien d'après la connaissance d'une génératrice quelconque, puisqu'il suffira de chercher les points dans lesquels un plan tel que ZOB coupe les divers parallèles décrits par les points de GG'G"; et nous donnerons plus loin (n° 148) un exemple de cette opération.

78. Les surfaces dont nous nous occupons ici, admettent un autre mode de FiG. 3o. génération qu'il importe de connaître. Puisque tout plan perpendiculaire à

l'axe DZ, donne pour section un cercle dont le centre est sur cet axe (n" 75), et qui a un point de commun avec la courbe GG' ou avec la méridienne BB', on peut donc regarder la surface de révolution comme le lieu des diverses positions que prend un cercle mobile, toujours perpendiculaire à la droite DZ , et dont le centre parcourt cette droite, tandis que son rayon varie de manière que la circonférence s appuie constamment sur la courbe fixe GG'G" : cette ligne devient alors une directrice à laquelle on peut substituer le méridien BB'B", et le cercle mobile est une génératrice variable à la fois de forme et de position. Cette définition, que l'on traduit plus aisément en analyse (*), offre l'avantage que, sous ce point de vue , toutes les surfaces de révolution forment une même famille (n** 70) qui admet une génératrice dune espèce constante; c'est le cercle mobile toujours perpendiculaire à l'axe, et dirigé dans son mouvement par le méridien qui , seul, change d'une surface individuelle à une autre.

79. Ainsi , suivant qu'on adoptera pour méridien une droite, une ellipse, une hyperbole ou une parabole, on obtiendra un cône, un cylindre, un ellipsoïde, un liyperboldide ou un paraboloïde DE RÉVOLUTION, pourvu d'ailleurs que l'axe de rotation coïncide avec un des diamètres principaux de la courbe ; car au-

(*) Voyez Y Analyse appliquée à la géométrie des trois dimensions , chap. XIV.

trement la surface, quoique toujours de révolution , serait d'une espèce plus compliquée. Un cercle, par exemple, qui tournerait autour d'une droite située dans son plan, mais ne passant pas par son centre, produirait un tore qui est un genre de surface annulaire que nous aurons occasion d'étudier bientôt (n'' 158).

80. Ces divers exemples, à l'exception du dernier, ne sont encore que des cas particuliers de surfaces plus générales qui, sans être de révolution, nous deviendront utiles dans la suite, et dont il importe de connaître la génération. Ce sont LES surfaces du second degré qui offrent cinq genres distincts, sans compter les cônes, les cylindres et les plans, qui en sont des variétés trop simples pour nous y arrêter de nouveau. FiG. 34. 81. ellipsoïde. Soit une ellipse ACDF construite sur les demi-axes OA=a, OG=c : en la supposant tracée dans un plan vertical que nous prendrons pour le tableau sur lequel la surface sera représentée en perspective, il en résultera que les lignes ponctuées indiqueront les portions de courbes situées derrière le plan de cette ellipse , et nous conserverons cette hypothèse dans tout ce chapitre. Si, dans un plan perpendiculaire à OC, nous construisons une autre ellipse A'B'D' qui ait pour ses demi-axes l'ordonnée 0'A'=a' de la première ellipse, et une droite 0'B'=/>' de grandeur quelconque, mais perpendiculaire sur O'A'; puis, que nous fassions mouvoir la courbe A'B'D' de manière que ses axes, restant parallèles à eux-mêmes, conservent le rapport

. . b' primitif—, et que l'un d'eux coïncide successivement avec les cordes D'A',

D"A", DA, de l'ellipse fixe GAF; alors le lieu géométrique ainsi engendré

sera la surface que l'on nomme ellipsoïde. Lorsque le plan de l'ellipse mobile passera par le centre O, elle atteindra son maximum de grandeur, puisque le demi-axe variable a' deviendra l'ordonnée maximum OA=«; et si l'on représente par OB = 6 la longueur que prendra au même instant le second axe 6', les trois lignes

AD = 2a, BE = 26, GF == 2c

seront ce qu'on appelle les diamètres principaux ou les axes de l'ellipsoïde. D'ailleurs on doit apercevoir que cette surface sera fermée de toutes parts, puisqu'au delà des points G et F, l'ellipse mobile aurait ses deux axes imaginaires (*).

(*) En exprimant par l'analyse ce mode de génération , on obtient pour l'équation, de llelr^