CHAPITRE I. — GÉNÉRATION DES SURFACES (fi

82. Si l'ellipse génératrice A'B'D' était un cercle, c'est-à-dire qu'on eût choisi O'B' égal à O'A', la surface deviendrait (n° 78) un ellipsoïde de révolution qui aurait pour méridien la courbe directrice GAF; et deux deg diamètres principaux de la surface, savoir OA et OB, seraient égaux entre eux. Enfin, dans le cas où les trois axes OA, OB, OC seraient tous de même longueur, l'ellipsoïde dégénérerait en une sphère.

83. HYPERBOLOIDE à une nappe. Substituons à l'ellipse directrice une hy- Fie. 35. perbole A'A"A, dont le demi-axe réel soit OA=a, et le demi-axe imaginaire OC=c; puis, dans un plan perpendiculaire à OC, et sur deux axes dont un

soit la corde A'D' de l'hyperbole, construisons encore une ellipse A'B'D': en la faisant mouvoir d'après la même loi que précédemment, elle engendrera l'hjperboloïde à une nappe, ainsi nommé parce que cette surface n'aura évidemment qu'une nappe unique', mais indéfinie comme l'hyperbole directrice. T.orsque le plan de l'ellipse mobile passera par le centre O , elle atteindra son minimum, puisque l'axe variable D'A' sera devenu égal à DA, qui est la plus petite corde de l'hyperbole; c'est pourquoi la courbe ABDE est nommée l'ellipse de gorge, et les trois droites

AD = 2a, BE = 2b, GF = 2c

sont les trois axes de l'hyperboloïde : mais le dernier GF ne rencontrant pas la surface, est dit l'axe imaginaire , quoique la quantité réelle 2C ne soit que le coefficient de l'expression imaginaire que fournirait l'analyse , en cherchant les points de la surface qui seraient situés sur la droite indéfinie OGO' (*).

84. Lorsque les deux axes réels OA et OB sont égaux , l'hyperboloïde est de révolution (n° 78), puisque alors l'ellipse génératrice A' B'D' devient un cercle; aussi , dans ce cas particulier, la surface pourrait être engendrée par la révolution de l'byperbole A'A"A autour de son axe imaginaire OGO'.

85. HYPERBOLOIDE à deux nappes. Sur les demi-axes OA = a, OG = c, FiG. 36^

lipsoïde rapporté à ses axes,

Voyez VJnaljrse appliquée à la géométrie des trois dimensions, chap. IX. (*) L'équation de l'hyperboloïde à une nappe, rapporté à ses axes, est

construisons encore une hyperbole, mais placée de manière que OC soit Taxe réel; puis, faisons mouvoir comme précédemment l'ellipse A'B'D' : elle engendrera une autre espèce d'hyperboloide qui aura deux nappes indéfinies, et séparées l'une de l'autre par un intervalle où il n'existera aucun point de la surface. En effet, entre les points G et F, la corde variable A'D', qui sert d'axe à l'ellipse mobile , deviendra imaginaire , et il en sera nécessairement de même du second axe O'B', qui doit conserver avec le premier un rapport constant : de sorte que la génératrice , se trouvant totalement imaginaire dans cet intervalle, ne fournira aucun point réel de la surface. Cependant, comme pour le point O, on sait que le demi-axe O'A' deviendra égal à OA, sj — i, si Ton veut construire le coefficient réel de l'autre axe qui est pareillement imaginaire, il faudra porter

sur une perpendiculaire au plan AOG, une longueur OB telle que