CHAPITRE I. — GÉNÉRATION DES SURFACES

toutes les sections planes qu'on y peut tracer, ne sont jamais que des paraboles ou des ellipses (*).

88. Lorsque les deux axes de l'ellipse génératrice sont égaux, la surface devient de révolution (n" 78), et alors elle pourrait être engendrée par le mouvement de la parabole OA'A", tournant autour de OX.

89. PARABOLOIDE fyperbolique. Enfin, tout en gardant pour directrice Fin. 38. la parabole D"OA", remplaçons l'ellipse génératrice qui nous avait servi jusqu'à présent, par une hyperbole D'H', A'G', construite dans un plan perpendiculaire à OX, et sur deux demi-axes O'A', O'B', dont le rapport restera constant,

tandis que le premier, qui est Taxe réel de cette hyperbole, deviendra successivement égal aux diverses ordonnées O'A', 0"A",.--, de la parabole fixe. L'hyperbole mobile, en se mouvant ainsi parallèlement à elle-même, décrira d'abord deux nappes ouvertes à droite et à. gauche, séparées par le vide intérieur du cylindre D"OA", et qui s'étendront indéfiniment, comme cette parabole, dans le sens O'X : mais, si nous faisons mouvoir l'hyperbole mobile de O' vers le point V, son axe réel O'A' diminuera, et deviendra nul en O; par conséquent les deux nappes dont nous venons de parler s'y réuniront, et en même temps l'hyperbole se réduira, pour cette position, à deux droites indéfinies KO/r, LO/, qui seront tout entières sur la surface, et parallèles aux asymptotes de toutes les hyperboles précédentes.

Au-dessus du point O, en O'" par exemple, l'hyperbole génératrice reparaîtra , mais dans une situation inverse H"'B"'G"', par rapport à ses asymptotes. En effet, les axes que nous avons représentés graphiquement par O'A' et O'B', devaient être à la rigueur exprimés par

donc, puisqu'en O'" l'ordonnée de la parabole est imaginaire, et qu'ainsi le premier axe de l'hyperbole mobile devient a'" = 0"A"'. y — i , il faut bien que le second axe, pour conserver avec l'autre un rapport constant, prenne la forme

(*) L'équation de ce paraboloïde^ rapporté à son sommet et à l'axe unique OX comme axe des X, est

quantité réelle , représentée sur la figure par 0"'B"'. Ceci montre qu'au-dessus de O, Taxe réel 0"'B'" de l'hyperbole génératrice se trouvera dirigé perpendiculairement au plan A'OD', et les deuxbranches de cette courbe décriront encore deux nappes indéfinies, placées l'une en avant de ce plan, l'autre en arrière, mais qui, réunies avec les précédentes par les droites KOA, LO/, ne présenteront dans leur ensemble qu'une seule surface non interrompue , dont les courbures seront de sens opposés , à peu près comme cela arrive dans la gorge d'une poulie. On a donné à la surface qui nous occupe le nom de paraboloïde hyperbolique, parce que l'analyse apprend que toutes les sections planes que l'on peut y tracer, ne sont jamais que des paraboles ou des hyperboles , parmi lesquelles il faut comprendre les cas particuliers où cette section se trouve une droite isolée, ou bien deux droites qui se coupent (*).

90. Il importe d'observer ici que le paraboloïde hyperbolique ne saurait jamais être de révolution; car, d'après ce que nous venons de dire sur la nature des sections planes, aucune de ces courbes n'est jamais fermée, et par consé^ quent ne peut être circulaire.

91. La manière dont nous venons d'indiquer la formation du paraboloïde hyperbolique offre, à la vérité, une sorte de discontinuité graphique, puisque au-dessus du point O, la parabole qui servait de directrice devient imaginaire; mais comme l'analyse explique aisément cette difficulté, nous avons préféré conserver ce mode de génération, parce qu'il présente plus d'analogie avec les surfaces précédentes, justifie mieux les dénominations imposées aux deux paraboloïdes, et manifeste clairement l'existence des deux droites OL et OK situées sur le second. Néanmoins nous citerons encore un autre mode de génération , tout à fait continu , et commun à ces deux paraboloïdes.

FiG. 3-7. Sur le même axe OX, et dans des plans perpendiculaires, construisez deux

(*) Pour bien lire la figure 38, on devra se rappeler que nous la supposons tracée sur le plan vertical D'^OA" comme tableau de perspective; ainsi toutes les \i^\nes ponctuées sont derrière ce plan. Après tout , comme il est assez difficile de donner une idée nette de la forme de ce paraboloïde par un dessin en perspective , on fera bien de consulter un modèle en relief qui peut se construire aisément au moyen de simples fils tendus en ligne droite suivant une certaine loi; voyez lesn"' 5SS, 566 et \a./îg. 120. Quant à l'équation du paraboloïde hyperbolique, rapporté au sommet O pour origine des coordonnées, et à l'axe OX comme axe des x, elle est