CHAPITRE I. — GÉNÉRATION DES SURFACES

paraboles A"OD*' et B"'OE ' qui aient le même sommet, des paramètres quelconques, et leui*s concavités tournées dans le même sens; puis faites glisser Tune des deux parallèlement à elle-même (n° 75), sans altérer sa forme, mais de manière que son sommet reste constamment sur l'autre parabole fixe : vous obtiendrez ainsi le paraboloïde elliptique.

Prenez deux paraboles A"OD" , B"'OE" construites comme ci-dessus , mais FiG. 38. ayant leurs concavités tournées en sens contraire; puis faites encore glisser, parallèlement à elle-même, la courbe A"OD'' constante de forme , et de manière que son sommet parcoure l'autre parabole fixe : vous produirez ainsi le paraboloïde hyperbolique (*).

92. Pour compléter la connaissance des lieux géométriques employés le plus fréquemment, il nous resterait à parler des SURFACES développables et des surfaces GAUCHES; mais, outre que les propriétés caractéristiques de ces deux classes de surfaces ne peuvent être bien nettement comprises qu'après avoir vu les plans tangents, il nous semble qu'il vaut mieux laisser au lecteur le temps de se familiariser avec les exemples cités jusqu'ici, par des applications nombreuses et des constructions variées; et plus tard nous nous occuperons spécialement de ces deux classes de surfaces qui sont très-importantes.

93. Revenons maintenant à la question indiquée n° 69, et qui avait pour but de trouver un mode de représenter graphiquement une surface. Or, puisque d'après la définition générale donnée au n° 70, une telle grandeur est toujours produite par le mouvement d'une certaine ligne, il suffira, pour atteindre le but proposé, de marquer sur les plans de projection diverses positions de la Génératrice, assez nombreuses et assez rapprochées pour que ce système de courbes puisse peindre aux yeux la continuité de la surface, sa courbure, ainsi que l'étendue de ses nappes.D'aWleurs, parmi les génératrices de différente espèce qu'admet toujours une même surface , on devra préférer celle qui par sa simplicité ou sa régularité, est la plus propre à faire image; et quelquefois, pour mieux atteindre ce but, on tracera en même temps deux systèmes de génératrices , tels que seraient les méridiens et les parallèles dans les surfaces de révolution. C'est effectivement par des moyens semblables que nous avons déjà figuré, sur nos dessins en perspective, les diverses surfaces dont nous avons parlé dans ce chapitre.

94. En outre, il est aussi très-utile de marquer les traces de la surface, c'està-dire ses intersections avec les plans de projection; ainsi que les contours

(*) Voyez Analyse appliquée à la géométrie des trois dimensions, chap. VHI.

en dedans ou au dehors desquels se trouveraient projetés tous les points de cette surface, lorsque du moins il existe de pareilles limites; car ces contours sont des espèces de profils qui accusent d'une manière souvent très-sensible les formes des objets : mais, pour apprendre à déterminer exactement ces contours, il faut que nous ayons parlé des plans tangents. Observons toutefois que, quand la forme de la surface nous sera bien connue d'avance, nous pourrons nous borner, pour simplifier nos dessins, à employer seulement quelques-uns des moyens de description dont nous venons de donner le détail.