CHAPITRE IL

Des plans tangents en général.

95. Un plan est dit tangent à une surface dans un point donné, lorsqu'il contient les tangentes à toutes les courbes que l'on tracerait sur cette surface par le point en question ; mais il est nécessaire de démontrer qu'il existe en général, à chaque point d'une surface, un plan qui jouit de cette propriété, car on ne voit pas à priori pourquoi ces diverses tangentes ne formeraient pas un cône, ainsi que cela arrive effectivement dans certains points singuliers. Nous allons donc piouver que trois courbes quelconques, tracées sur une surface à partir d'un point donné, ont toujours leurs trois tangentes situées dans un seul et même plan. FiG. 3i. Soit (jMg la forme et la position de la génératrice (n° 70) lorsqu'elle passe par le point donné M; soit DMc/ une courbe tracée sur la surface, et sur laquelle devra glisser constamment la génératrice , lorsque dans son mouvement elle décrira ce lieu géométrique ; soit enfin MX une troisième courbe quelconque située aussi sur la surface. Si nous transportons la génératrice dans une autre position G'M'(/', elle ne manquera pas de rencontrer la courbe MX en un certain point P', pourvu que le point M' soit pris assez voisin de M sur la directrice jyM.d. Alors, en joignant les points M, M', P' par des droites indéfinies, ces trois lignes seront des sécantes par rapport aux courbes MD, MX, G'</', et elles seront évidemment toutes trois dans un même plan. Maintenant, faisons mouvoir la génératrice G'^'surMD, en la rapprochant de sa situation primitive G^, mais en observant toujours la loi qui règle la variation de forme et de position de cette courbe dans la surface que l'on considère; puis, imaginojQS que