CHAPITRE II. — DES PLANS TANGENTS EN GÉNÉRAL

le plan des trois sécantes tourne autour du point M, de manière qu'il passe, en même temps que la génératrice, par les points M" et P", M" et F',...., où elle coupera successivement les courbes MD et MX ; par-là ce plan mobile renfermera constamment les trois sécantes variables. Or, quand la génératrice sera revenue à la position GMj/, le point M' mobile sur MD, sera confondu avec M : mais au même instant le point P' de la courbe MX aura dû évidemment se réunir avec le point M; et par une suite nécessaire, sur la courbe variable G'g' les points P et M' seront aussi confondus. Donc alors les trois sécantes mobiles seront devenues respectivement tangentes aux courbes MD, MX, MG; et si l'on se rappelle que ces trois sécantes étaient, pour chaque position de la génératrice , toujours situées dans un même plan, on en conclura que, quand elles sont devenues les tangentes MT, MT', MT", elles se trouvent encore dans un plan unique, qui n'est autre chose que la limite des positions qu'avait prises successivement le plan mobile des trois sécantes (*).

(*) Je ferai observer que ce théorème (démontré ainsi dès 1817, dans mes leçons à TÉcole polytechnique) me paraît indispensable à établir, pour pouvoir, dans la suite, empruntera la méthode infinitésimale les considérations abrégées et si utiles auxquelles nous aurons nousmêmes recours bientôt (n° 158) En effet, ce n'est qu'après avoir prouvé rigoureusement que toutes les tangentes, en un même point d'une surface , se trouvent dans un plan unique, qu'il est permis de regarder la surface comme composée d'éléments superficiels qui soient plans , parce qu'alors ils sont formés par les éléments linéaires communs aux courbes de la surface et à leurs tangentes. Quant à la démonstration précédente, on a objecté qu'ici la droite M'P' est bien, par rapport à la courbe G'g'j une sécante dont les points de section vont se réunir ; mais que, dans l'intervalle, la ligne G'g'' ne restera pas constante de forme, et qu'ordinairement cette condition est admise, quand on définit la tangente comme la limite d'une sécante. A cela il suffit de répondre que si, dans la géométrie plane, on admet cette permanence de forme, ce n'est que tacitement et parce qu'on ne s'y occupe guère que de courbes invariablement données; mais si, sans sortir d'un plan, on traçait un cercle qui coupât une droite, puis qu'on fit décroître le rayon jusqu'à ce que les deux points de section vinssent à se réunir, il n'y aurait pas de doute qu'alors ce cercle variable ne fût devenu tangent à la droite. Ainsi la permanence de forme n'est pas du tout nécessaire ; et vouloir l'exiger, ce serait restreindre gratuitement le caractère général de la tangente à une courbe. Il faut donc définir celle-ci comme la limite des positions que prend une sécante dont deux points de section se sont rapprochés indéfiniment, pourvu que ces points soient situés sur la même branche de la courbe, et que cette dernière n'ait varié de forme et de position que d'après une loi continue} or c'est bien là ce qui arrive ici pour la courbe G'g', puisque la surface est elle-même supposée continue.

Ajoutons enfin qu'il faudra de même regarder comme tangentes l'une à l'autre deux courbes quelconques qui , après avoir été sécantes , se seront modifiées de position ou de forme, d'après

5o LIVRE IL — DES SURFACES ET DES PLANS TANGENTS.

D'ailleurs, comme la courbe MX avait, dans ce qui précède, une position arbitraire sur la surface , il s'ensuit que le plan mené par les tangentes des deux lignes MG et MD , renfermera la tangente de toute autre courbe qui passerait en M ; ainsi ce plan TMT' se trouvera bien tangent à la surface, d'après la définition que nous avons donnée au commencement de cet article.

96. Lorsqu'une surface présente deux ou plusieurs nappes qui se coupent, comme il arriverait dans un cône dont la base serait une courbe à nœud, les points de l'intersection de ces deux nappes semblent d'abord offrir une exception à la propriété dont jouit le plan tangent en général; mais on reconnaîtra que cette circonstance rentre dans les cas ordinaires, si l'on observe que toutes les tangentes en un même point de l'intersection, doivent être distribuées sur les deux nappes, comme elles le seraient sur deux surfaces indépendantes qui viendraient se couper en cet endroit , et dont chacune aurait son plan tangent distinct du plan tangent de l'autre.

97. Cependant il se rencontre quelquefois de véritables exceptions à la propriété du plan tangent; mais cela ne peut arriver que dans des points singuliers de la surface, pour lesquels la génératrice ou la directrice, venant à se réduire à un point unique, n admettent plus de tangente. Par exemple, au sommet d'un cône, les diverses arêtes qui s'y coupent sont des lignes droites situées sur la surface , et qui sont elles-mêmes leurs propres tangentes ; cependant ces droites se trouvent deux à deux dans des plans évidemment distincts. Le sommet d'un cône est donc un point singulier de cette surface pour lequel il n existe pas de plan tangent. Mais si l'on remarque que la génératrice parallèle à la base du cône (n° 72) se resserre de plus en plus en s'approchant du sommet, et finit, en y arrivant, par se réduire à un point lequel n'admet plus, à proprement pai-^ 1er, de tangente , on sentira comment la démonstration générale du n° 95 cesse d'être applicable à ce cas particulier. La même cause d'exception se rencontrelait si l'on partait de la définition donnée n° 71 pour les surfaces coniques, parce qu'alors une des directrices de la droite mobile serait le point unique , nommé sommet du cône , et qu'une telle directrice n'est plus susceptible d'avoir une tangente.

Une circonstance analogue se présente dans les surfaces de révolution, dont

une loi continue , jusqu'à faire coïncider ensemble deux de leurs points de section ; car il est évident que ces deux courbes auront acquis une tangente commune , qui sera la limite des positions delà droite mobile passant par les deux points communs aux courbes sécantes.