CHAPITRE II. — DES PLANS TANGENTS EN GÉNÉRAL. SJi

la méridienne coupe l'axe sous un angle obtus ou aigu et même nul : au point d'une telle surface qui est situé sur l'axe de révolution , il n'y a plus de plan tangent, et les tangentes aux diverses positions du méridien forment, au contraire, un cône droit. C'est 'ce qu'on reconnaîtra en faisant tourner un cercle autour d'une de ses cordes.

98. Il est très-important d'observer que la définition du plan tangent donnée n** 95, n'exige pas du tout que ce plan n'ait qu'un seul point de commun avec la surface. Cela arrive, il est vrai, dans les surfaces entièrement convexes; mais, dans d'autres cas, le plan tangent peut rencontrer la surface en divers points, et même la couper suivant une courbe qui passe par le point de contact, comme nous en verrons des exemples dans le tore (n^ i58) , et dans les surfaces gauches. Cette circonstance n'empêchera pas que ce plan ne renferme les tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface par le point en question , et par conséquent il touchera réellement la surface en cet endroit; tandis que dans les autres points qu'il aura de communs avec elle, il sera généralement sécant.

99. Il existe néanmoins certains genres de surfaces où le plan qui est tangent dans un point , se trouve nécessairement tangent tout le long dune droite. Considérons en effet le cylindre ABC à base quelconque; si, par la généra- FiG. 32. trice AB et la tangente BT à la base, on mène un plan, je dis que non-seulement

ce plan contiendra les tangentes aux diverses courbes que l'on voudra tracer sur la surface par le point B (ce qui résulterait déjà du théorème démontré n° 95), mais qu'il renfermera aussi les tangentes à toutes les autres courbes que l'on tracerait sur le cylindre, par les divers points de la génératrice AB; et pour justifier cette assertion, il suffira de faire voir que le plan ABT renferme la tangente MV à la courbe quelconque MX. Or, si par AB et un point D voisin deB, je mène le plan ABR, il coupera évidemment le cylindre suivant une droite DE parallèle à AB , et la courbe MX en un point G situé sur DE ; de sorte que ce plan contiendra les deux sécantes BDR et MGS. Maintenant, faisonsle tourner autçur de AB de manière que le point D se rapproche de B ; les points de section Det G vont changer sur les courbes, mais ils se trouveront toujours ensemble 'ur une droite mobile, constamment parallèle à AB; donc, quand l'un de ces points D sera confondu avec B, au même instant l'autre point G comcidera avec M; c'est-à-dire que, quand le plan mobile aura pris la position ABT, la sécante variable MGS, toujours située dans ce plan, sera devenue la tangente MV. Ainsi cette dernière droite est renfermée dans le plan ABT.

Concluons de là que, lorsqu'un plan touche un cylindre en un point quelconque, il est nécessairement tangent tout le long de la génératrice rectiligne qui passe par le point de contact.

100. Dans les surfaces coniques, le plan tangent jouit aussi de cette propriété, et elle se démontrera d'une manière analogue, en observant qu'alors les points de section D et G sont situés constamment sur une même droite variable, mais qui rencontre toujours AB au sommet du cône. Enfin, nous verrons plus loin que cette même propriété subsiste également dans une classe de surfaces nommées développables, et dont les cylindres et les cônes ne sont que des genres particuliers.

101. Toutefois ce serait une erreur de croire que ce contact du plan tangent, tout le long d'une droite, tient à ce que les surfaces dont nous venons de parler admettent des génératrices rectilignes ; car nous rencontrerons bientôt des surfaces engendrées aussi par une droite, et nommées ^aucAes, dans lesquelles le plan tangent ne satisfait aux conditions du véritable contact que pour un seul point, quoiqu'il contienne tout une droite de la surface {voyez n°« 142 et 154).

102. Le théorème démontré n" 99, offre une conséquence importante que nous aurons souvent besoin d'invoquer par la suite; c'est que, quand on pro-

FiG. 3'.î. jette sur un plan une courbe MX et sa tangente MV, les projections de ces deux lignes sont elles-mêmes tangentes l'une à l'autre. En effet, pour projeter la courbe MX, il faudra (n® 4) imaginer un cylindre MBGX passant par cette ligne et perpendiculaire au plan donné, qu'il coupera suivant une courbe BG qui sera la projection de MX. Ensuite, pour projeter la droite MV, il faudra mener le plan VMB, lequel étant évidemment tangent au cylindre en M, devra l'être aussi (n° 99) en B; et par conséquent il renfermera la tangente BT de la base BG. Donc cette tangente se trouvera l'intersection du plan projetant avec le plan de cette base^ et elle sera ainsi la projection de MV.

La même conséquence subsisterait encore, si l'on projetait la courbe et sa tangente par des droites obliques au plan donné, mais toujours parallèles entre elles; 105. En résumant ce qui a été dit sur les plans tangents, on doit en conclure que , pour construire le plan qui touche une surface quelconque dans un point donné, il suffira dorénavant de chercher les tangentes à deux courbes tracées sur la surface par le point dont il s'agit, en préférant dans chaque exemple celles qui offriront plus de facilité; puis, de faire passer un plan pau ces deux tangentes, ce qu'on exécutera comme au n° 22. Nous donnerons bientôt divers exemples de ces constructions.